Однако и это было еще не все. Самое замечательное в теории алгебраического уравнения еще оставалось впереди. Дело в том, что есть сколько угодно частных видов уравнений всех степеней, которые решаются в радикалах, и как раз уравнений, важных во многих приложениях. Таковыми являются, например, двучленные уравнения

Абель нашел другой очень широкий класс таких уравнений, так называемые циклические уравнения и еще более общие «абелевы» уравнения. Гаусс по поводу задачи построения циркулем и линейкой правильных многоугольников подробно рассмотрел так называемое уравнение деления круга, т. е. уравнение вида

где - простое число, и показал, что оно всегда может быть сведено к решению цепи уравнений низших степеней, причем нашел условия, необходимые и достаточные для того, чтобы такое уравнение решалось в квадратных радикалах. (Необходимость этих условий была строго обоснована только Галуа.)

Итак, после работ Абеля положение было следующее: хотя, как это показал Абель, общее уравнение, степень которого выше четвертой, вообще говоря, не решается в радикалах, однако есть сколько угодно различных частных уравнений любых степеней, которые все же решаются в радикалах. Весь вопрос о решении уравнений в радикалах был поставлен этими открытиями на совсем новую почву. Стало ясно, что надо искать, каковы все те уравнения, которые решаются в радикалах, или, иначе говоря, каково условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение решалось в радикалах. Этот вопрос, ответ на который давал в некотором смысле окончательное выяснение всей задачи, решил гениальный французский математик Эварист Галуа.

Галуа (1811-1832) погиб в возрасте 20 лет на дуэли и в последние два года своей жизни не мог посвящать много времени занятиям математикой, так как был увлечен бурным вихрем политической жизни времен революции 1830 г., сидел в тюрьме за свои выступления против реакционного режима Людовика-Филиппа и т. п. Тем не менее за свою короткую жизнь Галуа сделал в разных частях математики открытия, далеко опередившие его время, и, в частности, дал самые замечательные из имеющихся результатов в теории алгебраических уравнений. В небольшой работе «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах», оставшейся в его рукописях после его смерти и впервые обнародованной Лиувиллем лишь в 1846 г., Галуа, исходя из самых простых, но глубоких соображений, наконец, распутал весь клубок трудностей, сосредоточенных вокруг теории решения уравнений в радикалах, - трудностей, над которыми безуспешно бились до того величайшие математики. Успех Галуа был основав на том, что он первый применил в теории уравнений ряд чрезвычайно важных новых общих понятий, впоследствии сыгравших большую роль во всей математике в целом.

Рассмотрим теорию Галуа для частного случая, а именно того, когда коэффициенты заданного уравнения степени

Рациональные числа. Случай этот особенно интересен и содержит

в себе по существу уже все трудности общей теории Галуа. Мы будем, кроме того, предполагать, что все корни рассматриваемого уравнения различны.

Галуа начинает с того, что, подобно Лагранжу, рассматривает некоторое выражение 1-й степени относительно

но он не требует, чтобы коэффициенты этого выражения были корнями из единицы, а берет за некоторые целые рациональные числа, такие, чтобы были численно различны все значений которые получаются, если в V переставить корни всеми возможными способами. Это всегда можно сделать. Далее, Галуа составляет то уравнение степени, корнями которого являются Нетрудно показать при помощи теоремы о симметрических многочленах, что коэффициенты этого уравнения степени будут рациональными числами.

До сих пор все довольно похоже на то, что делал Лагранж.

Далее Галуа вводит первое важное новое понятие - понятие неприводимости многочлена в данном поле чисел. Если задан некоторый многочлен от коэффициенты которого, например, рациональны, то многочлен называется приводимым в поле рациональных чисел, если он может быть представлен в виде произведения многочленов более низких степеней с рациональными коэффициентами. Если нет, то многочлен называется неприводимым в поле рациональных чисел. Многочлен приводим в поле рациональных чисел, так как он равен а, например, многочлен как это можно показать, неприводим в поле рациональных чисел.

Существуют способы, правда, требующие длинных вычислений, для того чтобы разложить любой заданный многочлен с рациональными коэффициентами на неприводимые множители в поле рациональных чисел;

Галуа предлагает разложить полученный им многочлен на неприводимые множители в поле рациональных чисел.

Пусть - один из таких неприводимых множителей (какой из них, для дальнейшего все равно) и пусть он степени.

Многочлен будет тогда произведением из множителей 1-й степени на которые разлагается многочлен степени Пусть этими множителями являются - Перенумеруем как-либо числами (номерами) корни заданного уравнения степени. Тогда входят все возможные перестановок нумеров корней, а в - только из них. Совокупность этих перестановок номеров называется группой Галуа заданного уравнения

Далее Галуа вводит еще некоторые новые понятия и проводит хотя и простые, но поистине замечательные рассуждения, из которых получается, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение (6) решалось в радикалах, заключается в том, чтобы группа перестановок номеров удовлетворяла некоторому определенному условию.

Таким образом, предвидение Лагранжа, что в основе всего вопроса лежит теория перестановок, оказалось правильным.

В частности, теорема Абеля о неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах может быть теперь доказана так. Можно показать, что существует сколько угодно уравнений 5-й степени, даже с целыми рациональными коэффициентами, таких, для которых соответственный многочлен 120-й степени неприводим, т. е. таких, группа Галуа которых есть группа всех перестановок номеров 1, 2, 3, 4, 5 их корней. Но группа эта, как это можно доказать, не удовлетворяет критерию (признаку) Галуа, и поэтому такие уравнения 5-й степени не решаются в радикалах.

Так, например, можно показать, что уравнение где а - положительное целое число, большей частью не решается в радикалах. Например, оно не решается в радикалах при

«Одна из задач, над которой работал Эварист Галуа, привлекала внимание математиков в течение долгого времени. Это задача о решении алгебраических уравнений.

Каждому, из нас ещё на школьной скамье приходилось решать уравнения первой и второй степени. Решить уравнение - это значит найти, чему равны его корни. Уже в случае уравнений третьей степени это совсем не так просто. Галуа же изучал самый общий случай уравнения произвольной степени. Каждый из нас может взять лист бумаги, записать такое общее уравнение и обозначить его корни какими-нибудь буквами. Однако эти корни, разумеется, являются неизвестными.

Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т.е. установил некоторые из «свойств» этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его «группу», или, образно говоря, его «семью».

Понятие группы возникло незадолго до работ Галуа. Но в его время оно существовало как тело, лишённое души, как одно из множества искусственно выдуманных понятий, время от времени возникающих в математике. Революционность того, что сделал Галуа, заключалась не только в том, что он вдохнул в эту теорию жизнь, что его гений придал ей необходимую законченность; Галуа показал плодотворность этой теории, применив её к конкретной задаче о решении алгебраических уравнений. Именно поэтому Эварист Галуа является истинным создателем теории групп.

Группа - это совокупность предметов, имеющих определённые общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве «предметов» могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение.

Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве «предметов» выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы.

Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, - все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик всё более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе.

«Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц», - так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Если бы у его судей хватило гражданского мужества, мы простили бы им недостаток проницательности: идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было учёному.

Множество умов упорно пыталось определить, в чём состоит гениальность. Попытки оказались тщетными, потому что это качество рассматривалось как некое метафизическое явление независимо от обстоятельств, в каких оно проявлялось. На самом же деле гениальность Паскаля , например, не в том, что он мог в двенадцать лет воспроизвести первые тридцать два предложения Евклида , и даже не в том, что после знакомства с Дезаргом он написал работу о конических сечениях. Гениальность Паскаля в том, что он открыл новые, неизвестные раньше связи между различными разделами науки: «Пусть не говорят, что я не сделал ничего нового. Новое - в расположении материала. Когда двое играют в лапту, оба пользуются одним и тем же мячом. Но один из них находит для него лучшее положение». (Паскаль. Предисловие к «Мыслям»). Настоящий исследователь открывает в первую очередь не новые объекты, а новые связи между ними.

Пока нет необходимости, гений молчит. Эту мысль легко подтвердить, стоит только распространить на ученых то, что говорят обычно о государственных деятелях, когда хотят показать, чем они отличаются от людей, вообще занимающихся политикой. Государственный деятель первым замечает изменения, возникшие в соотношении мировых сил; он первым осознает необходимость реагировать на происходящее и в соответствии с этим выбирает для своих действий ту или иную форму. То же самое и в науке. Гениальность ученого проявляется тогда, когда возникает необходимость в каких-то коренных изменениях. Процесс развития человеческих знаний происходит неравномерно. Иногда в той или иной области движение вперед временно прерывается. Наука дремлет в оцепенении. Учёные занимаются мелочами, за красивыми вычислениями скрываются убогие мысли. В начале XIX века алгебраические преобразования так усложнились, что практически движение вперёд оказалось невозможным.

Аппарат, придуманный Декартом и усовершенствованный его последователями, убил то, во имя чего он был создан. Математики перестали «видеть». Даже Лагранж оказался не в состоянии сдвинуть с мертвой точки задачу о решении алгебраических уравнений (это удалось сделать Галуа). Бессилие Лагранжа - яркий пример упадка, переживаемого в то время алгеброй. Настал момент, когда необходимо было найти новые пути. Этот момент определил отнюдь не случай, его вызвала к жизни необходимость. И отличительная черта гения в том, чтобы уловить эту необходимость и немедленно на нее откликнуться.

«В математике, как в любой другой науке, - писал Галуа, - есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания». История человеческих знаний сохранила имена ученых, сумевших благодаря особой пытливости ума вовремя почувствовать неотложность решительных изменений и указать на это своим современникам. Наука высоко чтит и тех, кто осуществил необходимые перемены. Иногда, хотя и редко, одному человеку удавалось сделать и то и другое. Таким человеком был Лавуазье , таким был и Эварист Галуа.

Имя Лавуазье названо здесь не случайно. Во второй половине XVIII века развитие химии приостановилось. Талантливых химиков было по-прежнему достаточно техника химического эксперимента достигла такого совершенства, что многие достижения того времени используются до сих пор, - а наука стояла на месте. Лавуазье прежде всего обратил внимание на отсутствие ясности и единообразия в терминологии. При той путанице определений и понятий, которая царила в работах по химии, движение вперед было просто невозможно. С работ Лавуазье в химии началась пора расцвета.

В каком-то смысле Галуа сделал в математике то же, что Лавуазье в химии. Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности. «Здесь я занимаюсь анализом анализа». Эта мысль Галуа выражает его стремление внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп - это прежде всего наведение порядка в математическом языке.

«Новые расположения» Паскаля , «номенклатура» Лавуазье , «группы» Галуа - все эти замечательные открытия снова и снова показывают, какую роль играет в науке установление новых связей. Каждое из этих открытий ознаменовало также значительное усовершенствование языка, используемого учёными».

Андре Дальма, Эварист Галуа: революционер и математик, М., «Наука», 1984 г., с. 44-49.

Я вдруг осознал, что не помню теорию Галуа, и решил посмотреть, докуда я смогу добраться, не пользуясь бумагой и не зная ничего, кроме базовых понятий - поле, линейное пространство, многочлены одной переменной, схема Горнера, алгоритм Евклида, автоморфизм, группа подстановок. Ну, и плюс здравый смысл. Оказалось - довольно далеко, поэтому расскажу подробно.

Возьмем какое-нибудь поле К и неприводимый над ним многочлен А(х) степени р. Мы хотим расширить К так, чтобы А оказался разложим на линейные множители. Ну, начнем. Добавляем новый элемент а, про который мы знаем только то, что А(а)=0. Очевидно, придется добавить все степени а до (р-1)й, и все их линейные комбинации. Получится векторное пространство над К размерности р, в котором определены сложение и умножение. Но - ура! - деление тоже определено: любой многочлен В(х) степени, меньшей р, взаимно прост с А(х), и алгоритм Евклида дает нам В(х)С(х)+А(х)М(х)=1 для подходящих многочленов С и М. И тогда В(а)С(а)=1 - мы нашли обратный элемент для В(а). Итак, поле К(а) определено однозначно с точностью до изоморфизма, и у каждого его элемента есть однозначно определенное "каноническое выражение" через а и элементы К. Разложим А(х) над новым полем К(а). Один линейный множитель мы знаем, это (х-а). Поделим на него, результат разложим на неприводимые множители. Если они все линейны, мы победили, иначе берем какой-то нелинейный, и аналогично добавляем один его корень. И так далее до победы (считая по дороге размерность над К: на каждом шаге она на что-нибудь умножается). Назовем окончательный результат К(А).
Теперь ничего не требуется, кроме здравого смысла и понимания, что такое изоморфизм, чтобы понять: мы доказали Теорему.
Теорема. Для любого поля К и любого неприводимого над ним многочлена А(х) степени р существует единственное с точностью до изоморфизма расширение К(А) поля К с такими свойствами:
1. А(х) разлагатся над К(А) на линейные множители
2. К(А) порождается К и всеми корнями А(х)
3. Если Т - любое поле, содержащее К, над которым А(х) разлагается на линейные множители, то К и корни А(х) в Т порождают поле, изоморфное К(А) и инвариантное под действием любого автоморфизма Т, тождественного на К.
4. Группа автоморфизмов К(А), тождественных на К, действует перестановками на множестве корней А(х). Это действие точно и транзитивно. Ее порядок равен размерности К(А) над К.

Заметим, кстати, что если на каждом шаге процесса после деления на (х-а) оставался вновь неприводимый многочлен, то размерность расширения равна р!, и группа - полная симметрическая степени р. (На самом деле, очевидно, "если и только если".)
Например, так происходит, если А - многочлен общего вида. Что это такое? Это когда его коэффициенты а_0,а_1,...,а_р=1 алгебраически независимы над К. Ведь если мы поделим А(х) на х-а по схеме Горнера (это можно и в уме сделать, для того она и придумана такая простая), то увидим, что коэффициенты частного алгебраически независимы уже над К(а). Значит, по индукции все в кайф.

Думаю, после такого элементарного введения разобраться по любой книжке со всеми остальными деталями будет гораздо проще.

ГАЛУА ТЕОРИЯ

подгрупп группы , где . Последовательность (2) является нормальным рядом (т. е. каждая группа - нормальный делитель группы при ) тогда и только тогда, когда в последовательности (1) каждое поле есть Галуа поля , и в этом случае .

К задаче решения алгебраич. уравнений эти результаты применяются следующим образом. Пусть f- без кратных корней над полем k, а К - его поле разложения (оно будет расширением Галуа поля k). Группа Галуа этого расширения наз. группой Галуа уравнения f=0. Решение уравнения f=0 тогда и только тогда сводится к решению цепи уравнений когда Ксодержится в поле , являющемся последним членом возрастающей последовательности полей

где - поле разложения над полем , многочлена . Последнее условие равносильно тому, что группа является факторгруппой группы , обладающей нормальным рядом, факторы к-рого изоморфны группам Галуа уравнений .

Пусть поле kсодержит все корни из единицы степени п. Тогда для любого полем разложения многочлена служит поле , где - одно из значений радикала Группа является в этом случае циклич. группой порядка n, и обратно, если группа является циклич. группой порядка и, то , где - корень нек-рого.двучленного уравнения Таким образом, если поле kсодержит корни из единицы всех необходимых степеней, то уравнение f=0 решается в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (т. е. обладает нормальным рядом с циклич. факторами ). Найденное условие разрешимости в радикалах справедливо и в случае, когда поле kне содержит всех нужных корней из единицы, поскольку группа Галуа расширения , получающегося присоединением этих корней, всегда разрешима.

Для практического применения условия разрешимости весьма важно, что группу Галуа уравнения можно вычислить, не решая этого уравнения. Идея вычисления следующая. Каждый поля разложения многочлена f индуцирует нек-рую перестановку его корней, причем этой перестановкой он вполне определяется. Поэтому группу Галуа уравнения в принципе можно трактовать как нек-рую подгруппу группы подстановок его корней (а именно, подгруппу, состоящую из подстановок, сохраняющих все алгебраич. зависимости между корнями). Зависимости между корнями многочлена дают нек-рые соотношения между его коэффициентами (в силу формул Виета); анализируя эти соотношения можно определить зависимости между корнями многочлена и тем самым вычислить группу Галуа уравнения. В общем случае группа Галуа алгебраич. уравнения может состоять из всех перестановок корней, т. е. являться симметрической группой n- йстепени. Поскольку при симметрическая группа неразрешима, то уравнение степени 5 и выше, вообще говоря, в радикалах не решается (теорема Абеля).

Соображения Г. т. позволяют, в частности, описать полностью задач на построение, разрешимых с помощью циркуля и линейки. Методами аналитической геометрии показывается, что любая такая задача на построение сводится к нек-рому алгебраич. уравнению над полем рациональных чисел, причем она разрешима с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение решается в квадратных радикалах. А для этого необходимо и достаточно, чтобы группа Галуа уравнения обладала нормальным рядом, факторы к-рого являются группами 2-го порядка, что имеет место тогда и только тогда, когда ее является степенью двух. Итак, задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки, сводится к решению уравнения, поле разложения к-рого имеет над полем рациональных чисел степень вида 2 s ;если степень уравнения не имеет вида 2 s , то такое построение невозможно. Так обстоит дело с задачей об удвоении куба (сводящейся к кубическому уравнению ) и с задачей о трисекции угла (также сводящейся к кубическому уравнению). Задача о построении правильного р-угольника сводится при простом рк уравнению обладающему тем свойством, что его поле разложения порождается любым из корней и поэтому имеет степень р -1, равную степени уравнения. В этом случае построение с помощью циркуля и линейки возможно, только если (напр., при р = 5 и р = 17 оно возможно, а при р = 7 и при р = 13 нет).

Идеи Галуа оказали решающее влияние на развитие алгебры в течении почти целого столетия. Г. т. развивалась и обобщалась во многих направлениях. В. Галуа теории обратная задача). Тем не менее в класснч. Г. т. осталось еще много нерешенных задач. Напр., неизвестно, для любой ли группы G существует уравнение над полем рациональных чисел с этой группой Галуа.

Лит. : Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 - 2, М.-Л., 1934-37; его же, Теория Галуа, М.- Л., 1936; Постников М. М., Основы теории Галуа, М., 1960; его же, Теория Галуа, М., 1963; }