Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

(1)

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у - отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение , так как величина критической силы нам неизвестна.

Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:

в точке А при х = 0 прогиб у = 0,

В х = 1 у = 0.

Из первого условия следует (так как и cos kx =1)

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением

Применяя второе условие, подставляем в это уравнение

у = 0 и х = l

получаем:

Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.

Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина может иметь следующий бесконечный ряд значений:

где - любое целое число.

Отсюда , а так как то

Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять .

Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение . Тогда получаем выражение для критической силы:

Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).

Рис.1

Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Значит, а - это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F ; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда будет равно

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

ДЛИНА СТЕРЖНЯ ПРИВЕДЕННАЯ условная длина сжатого стержня с заданными условиями закрепления его концов, длина которого по значению критической силы эквивалентна длине стержня с шарнирно закреплёнными концами

(Болгарский язык; Български) - приведена дължина на прът

(Чешский язык; Čeština) - vzpěrná délka prutu

(Немецкий язык; Deutsch) - reduzierte Stablänge; ideelle Stablänge

(Венгерский язык; Magyar) - rúd kihajlás! hossza

(Монгольский язык) - туйвангийн хөрвүүлсэн урт

(Польский язык; Polska) - długość sprowadzona pręta

(Румынский язык; Român) - lungime convenţională a barei

(Сербско-хорватский язык; Српски језик; Hrvatski jezik) - redukovaná dužina štapa

(Испанский язык; Español) - luz efectiva de una barra

(Английский язык; English) - reduced length of bar

(Французский язык; Français) - longueur réduite d"une barre

Строительный словарь .

Смотреть что такое "ДЛИНА СТЕРЖНЯ ПРИВЕДЕННАЯ" в других словарях:

длина стержня приведенная - Условная длина сжатого стержня с заданными условиями закрепления его концов, длина которого по значению критической силы эквивалентна длине стержня с шарнирно закреплёнными концами [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС… …

приведенная длина стержня - Условная длина однопролетного стержня, критическая сила которого при шарнирном закреплении его концов такая же, как для заданного стержня. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно… … Справочник технического переводчика

Схемы деформирования и коэффициенты при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки Гибкость стержня отношение расчетной длины стержня … Википедия

- (силомер). Этим именем называют в курсах физики пружинные весы, а в механике приборы для измерения механической работы (см). Самое старинное изображение пружинных весов, по словам Карстена, напечатано в 1726 г., без описания, в книге: Leupold,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

МЕРЫ - МЕРЫ, определенные физ. величины, с которыми сравниваются другие величины с целью измерения последних. Основные меры наиболее распространенной метрической системы: метр длина при 0° платинового стержня, хранящегося в Международном бюро мер и… … Большая медицинская энциклопедия

Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).

Рис.1

Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F ; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда

Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Это отношение называется гибкостью стержня и играет весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.

Из последнего выражения видно видно, что критическое напряжение при тонких и длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого напряжения на прочность . Так, для стали 3 с пределом прочности допускаемое напряжение может быть принято ; критическое же напряжение для стержня с гибкостью при модуле упругости материала будет равно

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

Влияние способа закрепления концов стержня.

Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выражение критической силы справедливо лишь для стержня с шарнирно-опертыми концами и изменится при изменении условий закрепления концов стержня.

Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить" к основному случаю.

Если повторить весь ход вывода для стержня, жестко защемленного одним концом и нагруженного осевой сжимающей силой на другом конце (Рис.2), то мы получим другое выражение для критической силы, а следовательно, и для критических напряжений.

Рис.2. Расчетная схема стержня с жесткозакрепленным одним концом.

Предоставляя право студентам проделать это во всех подробностях самостоятельно, подойдем к выяснению критической силы для этого случая путем следующих простых рассуждений.

Пусть при достижении силой Р критического значения колонна будет сохранять равновесие при слабом выпучивании по кривой АВ . Сравнивая два варианта изгиба видим, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится совершенно в тех же условиях, что и верхняя часть стержня двойной длины с шарнирно-закрепленными концами.

Значит, критическая сила для стойки длиной с одним защемленным, а другим свободным концами будет та,же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при длине :

Если мы обратимся к случаю стойки, у которой оба конца защемлены и не могут поворачиваться (Рис.3), то заметим, что при выпучивании, по симметрии, средняя часть стержня, длиной , будет работать в тех же условиях, что и стержень при шарнирно-опертых концах (так как в точках перегиба С и D изгибающие моменты равны нулю, то эти точки можно рассматривать как шарниры).

Рис.3. Расчетная схема с жесткозакреплеными торцами.

Поэтому критическая сила для стержня с защемленными концами, длиной , равна критической силе для стержня основного случая длиной :

Полученные выражения можно объединить с формулой для критической силы основного случая и записать:

здесь — так называемый коэффициент длины, равный:

Для стержня, изображенного на рис.4, с одним защемленным, а другим шарнирно-опертым концами, коэффициент оказывается примерно равным , а критическая сила:

Рис.4. Потеря устойчивости стержня с одним жесткозакрепленным и другим шарнирно-опорным торцом

Величина называется приведенной (свободной) длиной, при помощи коэффициента длины любой случай устройства опор стержня можно свести к основному; надо лишь при вычислении гибкости вместо действительной длины стержня ввести в расчет приведенную длину . Понятие о приведенной длине было впервые введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. Ясинским).

На практике, однако, почти никогда не встречаются в чистом виде те закрепления концов стержня, которые мы имеем на наших расчетных схемах.

Вместо шаровых опор обычно применяются цилиндрические шарниры. Подобные стержни следует считать шарнирно-опертыми при выпучивании их в плоскости, перпендикулярной к оси шарниров; при искривлении же в плоскости этих осей концы стержней следует считать защемленными (с учетом оговорок, приведенных ниже для защемленных концов).

В конструкциях очень часто встречаются сжатые стержни, концы которых приклепаны или приварены к другим элементам, часто еще с добавлением в месте прикрепления фасонных листов. Такое закрепление, однако, трудно считать защемлением, так как части конструкции, к которым прикреплены эти стержни, не являются абсолютно жесткими.

Между тем, достаточно возможности уже небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях, очень близких к шарнирному опиранию. Поэтому на практике недопустимо рассчитывать такие стержни, как стойки с абсолютно защемленными концами. Лишь в тех случаях, Когда имеет место очень надежное защемление концов, допускается небольшое (процентов на 10—20) уменьшение свободной длины стержня.

Наконец, на практике встречаются стержни, опирающиеся на соседние элементы по всей плоскости опорных поперечных сечений. Сюда относятся деревянные стойки, отдельно стоящие металлические колонны, притянутые болтами к фундаменту, и т. д. При тщательном конструировании опорного башмака и соединения его с фундаментом можно считать эти стержни имеющими защемленный конец. Сюда же относятся мощные колонны с цилиндрическим шарниром при расчете их на выпучивание в плоскости оси шарнира. Обычно же трудно рассчитывать на надежное и равномерное прилегание плоского концевого сечения сжатого стержня к опоре. Поэтому грузоподъемность таких стоек обычно мало превышает грузоподъемность стержней с шарнирно-опертыми концами.

Значения критических нагрузок могут быть получены в виде формул типа эйлеровой и для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил.

Л е к ц и я 7

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Понятие об устойчивости сжатого стержня. Формула Эйлера. Зависимость критической силы от способа закрепления стержня. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского. Расчет на устойчивость.

Понятие об устойчивости сжатого стержня

Рассмотрим стержень с прямой осью, нагруженный продольной сжимающей силой F. В зависимости от величины силы и параметров стержня (материал, длина, форма и размеры поперечного сечения) его прямолинейная форма равновесия может быть устойчивой или не устойчивой.

Д ля определения вида равновесия стержня подействуем на него небольшой поперечной нагрузкой Q. В результате стержень перейдет в новое положение равновесия с изогнутой осью. Если после прекращения действия поперечной нагрузки стержень возвращается в исходное (прямолинейное) положение, то прямолинейная форма равновесия является устойчивой (рис 7.1а). В том случае, когда после прекращения действия поперечной силы Q стержень не возвращается в первоначальное положение, прямолинейная форма равновесия является неустойчивой (рис 7.1б).

Таким образом, устойчивостью называется способность стержня после некоторого отклонения от первоначального положения в результате действия какой-либо возмущающей нагрузки самопроизвольно возвращаться в исходное положение при прекращении действия этой нагрузки. Наименьшая продольная сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.

Рассмотренная схема работы центрального сжатого стержня носит теоретический характер. На практике сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну. Поэтому с самого начала продольного нагружения стержня наблюдается его изгиб. Исследования показывают, что пока сжимающая сила меньше критической силы, прогибы стержня будут небольшими. При приближении силы к критическому значению прогибы начинают неограниченно возрастать. Этот критерий (неограниченный рост прогибов при ограниченном росте сжимающей силы) и принимается за критерий потери устойчивости.

Потеря устойчивости упругого равновесия имеет место не только при сжатии стержня, но и при его кручении, изгибе и более сложных видах деформации.

Формула Эйлера

Рассмотрим стержень с прямой осью, закрепленный посредством двух шарнирных опор (рис 7.2). Примем, что действующая на стержень продольная сжимающая сила достигла критического значения, и стержень изогнулся в плоскости наименьшей жесткости. Плоскость наименьшей жесткости расположена перпендикулярно к той главной центральной оси сечения, относительно которой осевой момент инерции сечения имеет минимальное значение.

(7.1)

где М – изгибающий момент; I min – минимальный момент инерции сечения.

Из рис. 7.2 находим изгибающий момент

(7.2)

На рис. 7.2 изгибающий момент, обусловленный действием критической силы, положителен, а прогиб – отрицателен. С целью согласования принятых знаков в зависимости (7.2) поставлен знак минус.

Подставляя (7.2) в (7.1), для определения функции прогиба получаем дифференциальное уравнение

(7.3)

(7.4)

Из курса высшей математики известно, что решение уравнения (7.3) имеет вид

где A, B – постоянные интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования в (7.5) используем краевые условия

Для изогнутого стержня коэффициенты A и B не могут одновременно быть равными нулю (иначе стержень не будет изогнутым). Поэтому

Приравнивая (7.6) и (7.4), находим

(7.7)

Практическое значение имеет наименьшее, отличное от нуля, значение критической силы. Поэтому, подставив в (7.7) n=1, окончательно будем иметь

(7.8)

Зависимость (7.8) называется формулой Эйлера.

Зависимость критической силы

от способа закрепления стержня

Формула (7.8) получена для случая закрепления стержня посредством двух шарнирных опор, расположенных на его краях. При других способах закрепления стержня для определения критической силы используется обобщенная формула Эйлера

(7.9)

где μ – коэффициент приведения длины, учитывающий способ закрепления стержня.

Наиболее распространенные способы закрепления стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рис. 7.3.

Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

П ри выводе формулы Эйлера было использовано условие, что в момент потери устойчивости выполняется закон Гука. Напряжение в стержне в момент потери устойчивости равно

где
- гибкость стержня; A – площадь поперечного сечения стержня.

В момент потери устойчивости закон Гука будет выполняться при условии

где σ пц – предел пропорциональности материала стержня;
- первая предельная гибкость стержня. Для стали Ст3 λ пр1 = 100.

Таким образом, формула Эйлера справедлива при выполнении условия (7.10).

Если гибкость стержня расположена в интервале
то стержень будет терять устойчивость в области упруго-пластических деформаций и формулу Эйлера использовать нельзя. В этом случае критическая сила определяется по экспериментальной формуле Ясинского

где a, b – экспериментальные коэффициенты. Для стали Ст3 a = 310 Мпа, b = 1,14 Мпа.

Вторая предельная гибкость стержня определяется по формуле

где σ т – предел текучести материала стержня. Для стали Ст3 λ пр2 = 60.

При выполнении условия λ ≤ λ пр2 критическое напряжение (по Ясинскому) будет превышать предел текучести материала стержня. Поэтому в этом случае для определения критической силы используется соотношение

(7.12)

В качестве примера на рис. 7.4 показана зависимость критического напряжения от гибкости стержня для стали Ст3.

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость выполняется с использованием условия устойчивости

(7.13)

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость;

- коэффициент запаса устойчивости.

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость находится по допускаемому напряжению при расчете на сжатие

(7.14)

где φ – коэффициент продольного изгиба (или снижения основного допускаемого напряжения). Данный коэффициент изменяется в пределах 0 ≤ φ ≤ 1.

Учитывая, что для пластичных материалов

из формул (7.13) и (7.14) следует

(7.15)

Значения коэффициента продольного изгиба в зависимости от материала и гибкости стержня приводятся в справочной литературе.

Наиболее интересен проектный расчет из условия устойчивости. При данном виде расчета известны: расчетная схема (коэффициент μ), внешняя сжимающая сила F, материал (допускаемое напряжение [σ]) и длина l стержня, форма его поперечного сечения. Необходимо определить размеры поперечного сечения.

Трудность заключается в том, что неизвестно по какой формуле определять критическое напряжение, т.к. без размеров поперечного сечения нельзя определить гибкость стержня. Поэтому расчет выполняется методом последовательных приближений:

1) Принимаем начальное значение = 0,5. Определяем площадь поперечного сечения

2) По площади находим размеры поперечного сечения.

3) Используя полученные размеры поперечного сечения, вычисляем гибкость стержня, а по гибкости – конечное значение коэффициента продольного изгиба .

4) При несовпадении значений и выполняем второе приближение. Начальное значение φ во втором приближении принимаем равным
. И так далее.

Расчеты повторяем до тех пор, пока начальное и конечное значения коэффициента φ будут отличаться не более чем на 5%. В качестве ответа принимаем значения размеров, полученных в последнем приближении.

Определим критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по концам (рис. 13.4). При небольших значениях силы Р ось стержня остается прямой и в его сечениях возникают напряжения центрального сжатия о = P/F. При критическом значении силы Р = Р становится воз- можной искривленная форма равновесия стержня.

Возникает продольный изгиб. Изгибающий момент в произвольном сечении х стержня равен

Важно заметить, что изгибающий момент определяется для деформированного состояния стержня.

Если предположить, что напряжения изгиба, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы, не превосходят предел пропорциональности материала о пц и прогибы стержня малы, то можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня (см. § 9.2)

Введя обозначение

получим вместо (13.2) следующее уравнение:

Общее решение этого уравнения имеет вид

Это решение содержит три неизвестных: постоянные интегрирования Cj, С 2 и параметр к, так как величина критической силы также неизвестна. Для определения этих трех величин имеются только два граничных условия: и(0) = 0, v(l ) = 0. Из первого граничного условия следует, что С 2 = 0, а из второго получим

Из этого равенства следует, что либо С { = 0, либо sin kl = 0. В случае С, = 0 прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае kl = пк, где п - произвольное целое число. С учетом этого по формулам (13.3) и (13.5) получим

Рассмотренная задача является задачей на собственные значения. Найденные числа к = пк/1 называются собственными числами, а соответствующие им функции - собственными функциями.

Как видно из (13.7), в зависимости от числа п сжимающая сила Р (я) , при которой стержень находится в изогнутом состоянии, теоретически может принимать целый ряд значений. При этом согласно (13.8) стержень изгибается по п полуволнам синусоиды (рис. 13.5).

Наименьшее значение силы будет при п = 1:

Эта сила носит название первой критической силы. При этом kl = к и изогнутая ось стержня представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 13.5, а):

где С{ 1} =/ - прогиб в середине длины стержня, что следует из (13.8) при п = 1 их = 1/2.

Формула (13.9) была получена Леонардом Эйлером и называется формулой Эйлера для критической силы.

Все формы равновесия (рис. 13.5), кроме первой (п = 1), неустойчивы и потому не представляют практического интереса. Формы равновесия, соответствующие п - 2, 3, ..., будут устойчивыми, если в точках перегиба упругой линии (точки С и С" на рис. 13.5, б, в) ввести дополнительные шарнирные опоры.

Полученное решение обладает двумя особенностями. Во-первых, решение (13.10) не является единственным, так как произвольная постоянная Cj (1) =/ осталась неопределенной, несмотря на использование всех граничных условий. В результате прогибы оказались определены с точностью до постоянного множителя. Во- вторых, это решение не дает возможности описать состояние стержня при Р > Р кр. Из (13.6) следует, что при Р = Р кр стержень может иметь искривленную форму равновесия при условии kl = к. Если же Р > Р кр, то kl Ф п, и тогда должно быть Cj (1) = 0. Это означает, что v = 0, то есть стержень после искривления при Р = Р кр вновь приобретает прямолинейную форму при Р > Р. Очевидно, что это противоречит физическим представлениям об изгибе стержня.

Эти особенности связаны с тем, что выражение (13.1) для изгибающего момента и дифференциальное уравнение (13.2) получены для деформированного состояния стержня, в то время как при постановке граничного условия на конце х = / осевое перемещение и в этого конца (рис. 13.6) вследствие изгиба не учитывалось. Действительно, если пренебречь укорочением стержня за счет центрального сжатия, то нетрудно представить, что прогибы стержня будут иметь вполне определенные значения, если задать величину и в.

Из этого рассуждения становится очевидным, что для определения зависимости прогибов от величины сжимающей силы Р необходимо вместо граничного условия v(l) = 0 использовать уточненное граничное условие v(l - и в) = 0. При этом установлено, что если сила превосходит критическое значение всего на 1+2%, прогибы становятся достаточно большими и необходимо пользоваться точным нелинейным дифференциальным уравнением продольного изгиба

Это уравнение отличается от приближенного уравнения (13.4) первым слагаемым, представляющим собой точное выражение для кривизны изогнутой оси стержня (см. § 9.2).

Решение уравнения (13.11) достаточно сложно и выражается через полный эллиптический интеграл первого рода.