ЛИТЕРАТУРА

Основная

Сотский Н.Б. Биомеханика. – Мн: БГУФК, 2005.

Назаров В.Т. Движения спортсмена. М., Полымя 1976

Донской Д.Д. Зациорский В.М. Биомеханика: Учебник для институтов физической культуры.- М., Физкультура и спорт, 1979.

Загревский В.И. Биомеханика физических упражнений. Учебное пособие. – Могилев: МГУ им А.А. Кулешова, 2002.

Дополнительная

Назаров В.Т. Биомеханическая стимуляция: явь и надежды.-Мн., Полымя, 1986.

Уткин В.Л. Биомеханика физических упражнений.- М., Просвещение, 1989.

Сотский Н.Б., Козловская О.Н., Корнеева Ж.В. Курс лабораторных работ по биомеханике. Мн.: БГУФК, 2007.

Законы Ньютона для поступательного и вращательного движений.

Формулировка законов Ньютона зависит от характера движения тел, которое можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

При описании законов динамики поступательного движения следует учитывать, что все точки физического тела движутся одинаково, и для описания закономерностей этого движения можно заменить все тело одной точкой, содержащей количество вещества, соответствующее всему телу. В данном случае закон движения тела как целого в пространстве не будет отличаться от закона движения указанной точки.

Первый закон Ньютона устанавливает причину, вызывающую движение или изменяющую его скорость. Такой причиной является взаимодействие тела с другими телами. Это отмечено в одной из формулировок первого закона Ньютона: "Если на тело не действуют другие тела, то оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения".

Мерой взаимодействия тел, в результате которого изменяется характер их движения, является сила. Таким образом, если какое-либо физическое тело, например тело спортсмена, приобрело ускорение, то причину следует искать в действии силы со стороны другого тела.

Используя понятие силы, можно сформулировать первый закон Ньютона и по-другому: "Если на тело не действуют силы, то оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения".

Второй закон Ньютона устанавливает количественную связь между силой взаимодействия тел и приобретаемым ускорением. Так, при поступательном движении приобретаемое телом ускорение прямо пропорционально действующей на тело силе. Чем больше указанная сила, тем большее ускорение приобретает тело.

Для учета свойств взаимодействующих тел, проявляющихся при сообщении им ускорения, вводится коэффициент пропорциональности между силой и ускорением, который называется массой тела. Введение массы позволяет записать второй закон Ньютона в виде:

a = -- (2.1)

где а - вектор ускорения; F - вектор силы; m - масса тела.

Следует обратить внимание, что в приведенной формуле ускорение и сила - векторы, следовательно, они не только связаны пропорциональной зависимостью, но и совпадают по направлению.

Массу тела, вводимую вторым законом Ньютона, связывают с таким свойством тел, как инертность. Она является мерой данного свойства. Инертность тела представляет собой его способность сопротивляться изменению скорости. Так, тело, обладающее большой массой и, соответственно, инертностью, трудно разогнать и не менее трудно остановить.

Третий закон Ньютона дает ответ на вопрос о том, как именно взаимодействуют тела. Он утверждает, что при взаимодействии тел сила действия со стороны одного тела на другое равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны другого тела на первое.

Например, толкатель ядра, разгоняя свой снаряд, действует на него с определенной силой F , одновременно такая же по величине, но противоположная по направлению сила действует на кисть спортсмена и через нее на все тело в целом. Если это не учитывать, атлет может не удержаться в пределах сектора для метания, и попытка не будет засчитана.

В случае, если физическое тело взаимодействует одновременно с несколькими телами, все действующие силы складываются по правилу сложения векторов. В таком случае в первом и втором законах Ньютона имеется в виду равнодействующая всех сил, действующих на тело.

Динамические характеристики поступательного движения (сила, масса).

Мерой взаимодействия тел, в результате которого изменяется характер их движения, является сила. Таким образом, если какое-либо физическое тело, например тело спортсмена, приобрело ускорение, то причину следует искать в действии силы со стороны другого тела. Например, при выполнении прыжка в высоту, вертикальная скорость тела спортсмена после отрыва от опоры до достижения наивысшего положения все время уменьшается. Причиной этого является сила взаимодействия тела спортсмена и земли - сила земного тяготения. В гребле как причиной ускорения лодки, так и причиной ее замедления, является сила сопротивления воды. В одном случае она, воздействуя на корпус лодки, замедляет движение, а в другом, взаимодействуя с веслом, увеличивает скорость судна. Как видно из приведенных примеров, силы могут действовать как на расстоянии, так и при непосредственном контакте взаимодействующих объектов.

Известно, что одна и та же сила, действуя на разные тела, приводит к различным результатам. Например, если борец среднего веса пытается толкнуть соперника своей весовой категории, а затем атлета тяжелого веса, то ускорения, приобретаемые в обоих случаях, будут заметно различаться. Так, тело соперника-средневеса приобретет большее ускорение, чем в случае соперника-тяжеловеса.

Для учета свойств взаимодействующих тел, проявляющихся при сообщении им ускорения, вводится коэффициент пропорциональности между силой и ускорением, который называется массой тела.

Если говорить более строго, то если на разные тела действовать одной и той же силой, то наиболее быстрое изменение скорости за один и тот же промежуток времени будет наблюдаться у наименее массивного тела, а наиболее медленное - у наиболее массивного.

Динамические характеристики вращательного движения (момент силы, момент инерции).

В случае вращательного движения тела, сформулированные законы динамики также справедливы, однако в них используются несколько другие понятия. В частности, "сила" заменяется на "момент силы", а "масса" - на момент инерции.

Момент силы является мерой взаимодействия тел при вращательном движении. Он определяется произведением величины силы на плечо этой силы относительно оси вращения. Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Так, при выполнении большого оборота на перекладине в ситуации, представленной на рис. 13, спортсмен совершает вращательное движение под действием силы тяжести. Величина момента силы определяется силой тяжести mg и плечом этой силы относительно оси вращения d. В процессе выполнения большого оборота вращающее действие силы тяжести изменяется в соответствии с изменением величины плеча силы.

Рис. 13. Момент силы тяжести при выполнении большого оборота на перекладине

Так, минимальное значение момента силы будет наблюдаться в верхнем и нижнем положениях, а максимальное - при расположении тела, близком к горизонтальному. Момент силы является вектором. Его направление перпендикулярно плоскости вращения и определяется по правилу "буравчика". В частности, для ситуации, представленной на рис., вектор момента силы направлен "от наблюдателя" и имеет знак "минус".

В случае плоских движений знак момента силы удобно определять из следующих соображений: если сила действует на плечо, стремясь повернуть его в направлении "против часовой стрелки", то такой момент силы имеет знак "плюс", а если "по часовой стрелке" - то знак "минус".

Согласно первому закону динамики вращательного движения, тело сохраняет состояние покоя (в отношении вращательного движения) или равномерного вращения при отсутствии действующих на него моментов сил или равенстве нулю суммарного момента.

Второй закон Ньютона для вращательного движения имеет вид:

e = --- (2.2)

где e - угловое ускорение;М - момент силы; J - момент инерции тела.

Согласно данному закону, угловое ускорение тела прямо пропорционально действующему на него моменту силы и обратно пропорционально его моменту инерции.

Момент инерции является мерой инертности тела при враща­тельном движении. Для материальной точки массы m, расположен­ной на расстоянии r от оси вращения, момент инерции определяет­ся как J = mr 2 . В случае твердого тела полный момент инерции определяется как сумма моментов инерции составляющих его точек и находится с помощью математической операции интегрирования.

Основные силы, имеющие место при выполнении физических упражнений.

Сила тяжести тела, находящегося вблизи поверхности земли, может быть определена массой тела m и ускорением свободного падения g:

F = mg (2.30)

Сила тяжести, действующая на физическое тело со стороны земли, всегда направлена вертикально вниз и приложена в общем центре тяжести тела.

Сила реакции опоры действует на физическое тело со стороны поверхности опоры и может быть разложена на две составляющие - вертикальную и горизонтальную. Горизонтальная в большинстве случаев представляет собой силу трения, закономерности которой будут рассмотрены ниже. Вертикальная реакция опоры численно определяется следующим соотношением:

R = mа + mg (2.31)

где а - ускорение центра масс тела, находящегося в контакте с опорой.

Сила трения . Сила трения может проявлять себя двояко. Это может быть сила трения, возникающая при ходьбе и беге, как горизонтальная реакция опоры. В таком случае, как правило, звено тела, взаимодействующее с опорой, не перемещается относительно последней, и сила трения называется "силой трения-покоя". В других случаях имеет место относительное перемещение взаимодействующих звеньев, и возникающая сила представляет собой силу трения-скольжения. Следует отметить, что существует сила трения, воздействующая на перекатываемый объект, например, на мяч или колесо - трение-качения, однако, численные соотношения, определяющие величину такой силы, аналогичны имеющим место при трении-скольжении, и мы не будем рассматривать их отдельно.

Величина трения-покоя равна величине прилагаемой силы, стремящейся сдвинуть тело. Такая ситуация наиболее характерна для бобслея. Если перемещаемый снаряд находятся в покое, то для начала его перемещения необходимо приложить определенную силу. При этом снаряд начнет перемещаться только тогда, когда данная сила достигнет некоторого предельного значения. Последнее зависит от состояния соприкасающихся поверхностей и от силы давления тела на опору.

При превышении сдвигающей силой предельного значения, тело начинает перемещаться, скользить. Здесь сила трения-скольже­ния становится несколько меньше предельного значения тре­ния-покоя, при котором начинается движение. В дальнейшем она в некоторой степени зависит от относительной скорости перемещае­мых друг относительно друга поверхностей, однако для боль­шинства спортивных движений можно считать ее приблизительно постоянной, определяемой следующим соотношением:

где k - коэффициент трения, а R - нормальная (перпендикулярная к поверхности) составляющая реакции опоры.

Силы трения в спортивных движениях выполняют, как правило, и положительную и отрицательную роль. С одной стороны, без силы трения невозможно обеспечить горизонтальное перемещение тела спортсмена. Например, во всех дисциплинах, связанных с бегом, прыжками, в спортивных играх и единоборствах стремятся увеличить коэффициент трения между спортивной обувью и поверхностью опоры. С другой стороны, во время соревнований по лыжному спорту, прыжкам с трамплина на лыжах, по санному спорту, бобслею, скоростному спуску первейшей задачей, обеспечивающей высокий спортивный результат, является уменьшение величины трения. Здесь это достигается подбором соответствующих материалов для лыж и санных полозьев или обеспечением соответствующей смазки.

Сила трения является основой для создания целого класса тренажерных устройств, для развития специфических качеств спортсмена, таких, как сила и выносливость. Например, в некоторых весьма распространенных конструкциях велоэргометров сила трения вполне точно задает нагрузку для тренирующегося.

Силы сопротивления окружающей среды . При выполнении спор­тивных упражнений тело человека всегда испытывает действие окружающей среды. Указанное действие может проявляться как в затруднении перемещений, так и обеспечивать возможность последнего.

Сила, действующая со стороны налетающего на движущееся тело потока, может быть представлена состоящей из двух слагае­мых. Это - сила лобового сопротивления , направленная в сторо­ну, противоположную движению тела, и подъемная сила , действую­щая перпендикулярно направлению движения. При выполнении спор­тивных движений силы сопротивления зависят от плотности среды r, скорости тела V относительно среды, площади тела S (рис. 24), перпендикулярной налетающему потоку среды и коэффициента С, зависящего от формы тела:

F сопр = СSrV 2 (2.33)

Рис. 24. Площадь, перпендикулярная налетающему потоку, определяющая величину силы

сопротивления.

Силы упругости . Силы упругости возникают при изменении формы (деформировании) различных физических тел, восстанавли­вающих первоначальное состояние после устранения деформирующе­го фактора. С такими телами спортсмен встречается при выпол­нении прыжков на батуте, прыжков с шестом, при выполнении уп­ражнений с резиновыми или пружинными амортизаторами. Сила уп­ругости зависит от свойств деформируемого тела, выражаемых ко­эффициентом упругости К, и величины изменения его формы Dl:

F упр. = - КDl (2.35)

Выталкивающая сила зависит от величины объема V тела или его части, погруженных в среду - воздух, воду или любую другую жидкость, плотности среды r и ускорения свободного падения g.

Первый закон Ньютона и понятие инерциальной системы отсчёта.

Второй закон Ньютона как уравнение движения. Понятия массы, силы, импульса.

Третий закон Ньютона и пределы его применения.

Неинерциальные системы отсчёта. Абсолютные и относительные скорости и ускорения. Силы инерции (центробежная сила и сила Кориолиса).

Центр инерции (центр масс). Теорема о движении центра инерции.

1. 1-й закон Ньютона. Материальная точка, не подверженная внешним воздействиям, либо находится в покое , либо движется равномерно и прямолинейно. Такое тело называется свободным, его движение – свободным движением, или движением по инерции .

Классическая механика постулирует, что существует система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчёта . Таким образом, 1-й закон Ньютона выражает критерий инерциальности системы отсчёта .

2. 2-й закон Ньютона. Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе.

где – импульс (количество движения), векторная величина, равная для материальной точки произведению её массы на скорость и направленная вдоль;

–масса – мера инертности тел.

Импульс механической системы равен геометрической сумме импульсов всех точек системы.

Сила в механике – мера механического действия на данное материальное тело других тел. Это действие может иметь место как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых телами полей (электромагнитным, полем тяготения). Сила – величина векторная и в каждый момент времени характеризуетсячисленным значением, направлением в пространстве и точкой приложения . Сложение сил производится по правилу параллелограмма . В современной физике различают 4 вида взаимодействий :

гравитационное (обусловлено всемирным тяготением);

электромагнитное (осуществляется через электрические и магнитные поля);

сильное, или ядерное (обеспечивающее связь частиц в атомном ядре);

слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).

Пример использования 2-го закона Ньютона как уравнения движения:

3. 3-й закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки .

Третий закон, как и 1-й и 2-й, справедливы лишь в инерциальных системах отсчёта . Кроме того, отступление от 3-го закона наблюдается в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света .

В случае движущихся зарядов необходимо учитывать также взаимодействие с магнитными полями, создаваемыми ими. Пусть два положительных заряда идвигаются со скоростямии(рис. 2.1). На каждый заряд со стороны другого действует как кулоновская
, так и лоренцева силы
. Направления векторов индукции магнитных полейи, создаваемых частицамии, определяются по правилу правого винта (буравчика).

Рис. 2.1

Магнитные силы Лоренца
и
не совпадают по направлению. Результирующие силыине равны друг другу и не направлены противоположно.

4. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Изобразим две системы отсчёта, из которых К является инерциальной, а система
движется относительноК с некоторым ускорением и, следовательно, неинерциальная (рис. 2.2).

Рис. 2.2

В случае, когда система
движется относительноК поступательно:

где
радиус-вектор точкиm в системе К;
радиус-вектор начала координат;
радиус-вектор точкиm в системе
. Продифференцируем дважды выражение
:

,

,

где
ускорение частицыm в системе К ;

–ускорение начала системы
относительно системыК ;

–ускорение частицы в системе
.

; умножим обе части этого уравнения на m , получим

, здесь
по 2-му закону Ньютона сила, действующая на частицу со стороны других тел , тогда:

То есть относительно системы
частица ведёт себя так, как если бы кроме силы на нее действует дополнительная сила
. Эта сила называется силой инерции .

Движение относительно выбранной условно неподвижной системы называется абсолютным . Вектор
даётабсолютную скорость ,
абсолютное ускорение, а
и
относительные скорость и ускорение .

Продифференцировав момент импульса по времени, получим основное уравнение динамики вращательного движения, известное как второй закон Ньютона для вращательного движения, формулируемый следующим образом: скорость изменения момента импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту всех внешних сил M , приложенных к телу, относительно этой точки:

d L /dt = M (14)

Так как момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален угловой скорости  вращения, а производная d /dt есть угловое ускорение  , то это уравнение может быть представлено в виде

J  = M (15)

где J – момент инерции тела.

Уравнения (14) и (15), описывающие вращательное движение тела, по своему содержанию аналогичны второму закону Ньютона для поступательного движения тел (m a = F ). Как видно, при вращательном движении в качестве силы F используется момент силы M , в качестве ускорения a – угловое ускорение  , а роль массы m , характеризующей инерционные свойства тела, играет момент инерции J .

Момент инерции

Момент инерции твердого тела определяет пространственное распределение массы тела и является мерой инертности тела при вращательном движении. Для материальной точки, или элементарной массы m i , вращающейся вокруг оси, введено понятие момента инерции, который представляет собой скалярную величину, численно равную произведению массы на квадрат расстояния r i до оси:

J i = r i 2 m i (16)

Момент же инерции объемного твердого тела есть сумма моментов инерции составляющих его элементарных масс:

Для однородного тела с равномерно распределенной плотностью = m i /V i (V i – элементарный объем) можно записать:

или, в интегральной форме (интеграл берется по всему объему):

J =  ∫ r 2 dV (19)

Использование уравнения (19) позволяет рассчитать моменты инерции однородных тел различной формы относительно любых осей. Наиболее простой результат, однако, получается при расчете моментов инерции однородных симметричных тел относительно их геометрического центра, который в данном случае является центром масс. Рассчитанные таким образом моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице 1.

Момент инерции тела относительно любой оси можно найти, зная собственный момент инерции тела, т.е. момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс, используя теорему Штейнера. Согласно ей момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J 0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния r между осями:

J = J 0 + m r 2 (20)

Ось, при вращении тела вокруг которой, не возникает момент силы, стремящийся изменить положение оси в пространстве, называется свободной осью данного тела. У тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, проходящие через его центр масс, которые называются главными осями инерции тела. Собственные моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции.

Таблица 1.

Моменты инерции некоторых однородных тел (с массой m ) правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс

Описание установки и принципа измерений:

Установка, используемая в настоящей ра­боте для изучения основных закономерностей динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, называется маятни­ком Обербека. Общий вид установки показан на рисунке 4.

Основным элементом установки, осуществляющим вращательное движение вокруг оси, перпенди­кулярной плоскос­ти рисунка, является крестовина1 , состоящая из четырех ввинченных в шкив 2 под прямым углом друг к другу стержней (спиц), на каждый из которых надет свободно пере­мещаемый вдоль стержня ци­линдрический гру­з 3 массой , закрепляемый в нужном положе­нии винтом4 . Вдоль всей длины спиц с сантиметровым интер­валом нанесены поперечные нарезки, с помощью которых можно легко отсчи­тать расстоя­ния от центра расположения грузов до оси вращения. Пере­мещением грузов достигается изменение момента инерции J всей крестовины.

Вращение крестовины происходит под действием силы натяжения (силы уп­ругости) нити 5 , закрепленной одним своим концом в каком-либо одном из двух шкивов (6 , или 7 ), на который при вращении крестовины она наматывается. Другой конец нити с прикрепленным к нему гру­зом P 0 8 переменной массы m 0 перекидывается через неподвижный блок 9 , который меняет направление вращающей силы натяжения, сов­падающей с касательной к соответствующему шкиву. Использование од­ного из двух шкивов, различающихся радиусами, позволяет изменять плечо вращающей силы, а, следовательно, и ее момент M .

Проверка различных закономерностей вращательного движения в данной работе сводится к измерению времени t опускания груза с высоты h .

Для определения высоты опускания груза на маятнике Обербека служит миллиметровая шкала 10 , прикрепленная к вертикальной стойке 11 . Величина h соответствует расстоянию между рисками, одна из которых нанесена на верхнем подвижном кронш­тейне 12 , а другая – на нижнем кронштейне 13 , укреп­ленном неподвижно в стойке 11 . Подвижный кронштейн можно, перемещая вдоль стойки, фиксировать в любом нужном положении, задавая высоту опускания груза.

Автоматическое измерение времени опускания груза осуществляется с помощью электронного миллисекундомера, цифровая шкала которого 14 расположена на передней панели, и двух фотоэлектрических датчиков, один из которых 15 закреплен на верхнем кронштейне, а другой 16 – на нижнем неподвижном кронштейне. Датчик 15 подает сигнал запуска электронного секундомера при начале движения груза от его верхнего положения, а датчик 16 при достижении грузом нижнего положения подает сигнал, который останавливает секундомер, фиксируя время t прохождения грузом расстояния h , и одновременно включает расположенный за шкивами 6 и 7 тормозной электромагнит, останавли­вающий вращение крестовины.

Упрощенная схема маятника представлена на рисунке 5.

На грузP 0 действуют постоянные силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити T , под действием которых груз движется вниз равноуско­ренно с ускорением a . Шкив радиуса r 0 под действием силы натяжения нити T вращается с угловым ускорением , при этом тангенциальное ускорение a t край­них точек шкива будет равно ускорению a опускающегося груза. Ускорения a и  связаны соотношением:

a = a t = r 0 (21)

Если время опускания груза P 0 обозначить через t , а пройден­ный им путь через h , то по закону равноускоренного движения при начальной скорости, равной 0, ускорение a может быть найдено из соотношения:

a = 2h /t 2 (22)

Измерив штангенциркулем диаметр d 0 соответствующего шкива, на который намотана нить, и вычислив его радиус r o , из (21) и (22) можно рассчитать угловое ускорение вращения крестовины:

 = a /r 0 = 2h /(r 0 t 2) (23)

Когда привязанный к нити груз опускается, двигаясь равноускоренно, нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение. Сила, вызывающая вращение тела, есть сила натяжения нити. Ее можно определить из следующих соображений. Поскольку, согласно второму закону Ньютона, произведение массы движущегося тела на его ускорение равно сумме действующих на тело сил, то в данном случае на подвешенное на нити и опускающееся с равномерным ускорением a тело массой m 0 действуют две силы: вес тела m 0 g , направленный вниз, и сила натяжения нити T , направленная вверх. Поэтому имеет место соотношение:

m 0 a = m 0 g – T (24)

T = m 0 (g – a ) (25)

Следовательно, вращающий момент будет равен:

M = Tr 0 = (m 0 g – m 0 a )r 0 (26)

где r 0 – радиус шкива.

Если пренебречь силой трения диска об ось крестовины, то мож­но считать, что на крестовину действует только момент M силы натяжения нити T . Поэтому, воспользовавшись вторым законом Ньютона для вращательного движения (13), можно рассчитать мо­мент инерции J крестовины с вращающимися на ней грузами с учетом (16) и (19) по формуле:

J = M / = m 0 (g – a )r 0 2 t 2 /2h (27)

или, подставляя выражение для a (15):

J = m 0 r 0 2 (t 2 g /2h – 1) (28)

Полученное уравнение (28) является точным. В то же время, проделав опыты по определению ускорения движения груза P 0 , можно убедиться, что a << g , и поэтому в (27) значение (g – a ), пренебрегая величиной a , можно принять равным g . Тогда выражение (27) примет вид:

J = M / = m 0 r 0 2 t 2 g /2h (29)

Если величины m 0 , r 0 и h в ходе проведения опытов не меняются, то между моментом инерции крестовины и временем опускания груза имеется простая квадратичная зависимость:

J = Kt 2 (30)

где K = m 0 r 0 2 g /2h . Таким образом, измерив время t опускания груза массой m 0 , и зная высоту его опускания h , можно рассчитать момент инерции крестовины, состоящей из спиц, шкива, в котором они закреплены, и грузов, находящихся на крестовине. Формула (30) позволяет проверить основные закономерности динамики вращательного движе­ния.

Если момент инерции тела постоянен, то разные вращающие моменты М 1 и М 2 сообщат телу разные угловые ускорения ε 1 и ε 2 , т.е. будем иметь:

M 1 = J ε 1 , M 2 = J ε 2 (31)

Сравнивая эти выражения, получаем:

M 1 /M 2 = ε 1 /ε 2 (32)

С другой стороны, один и тот же вращающий момент сообщит телам с разными моментами инерции различные угловые ускорения. Действительно,

M = J 1 ε 1 , M = J 2 ε 2 (33)

J 1 ε 1 = J 2 ε 2 , или J 1 /J 2 = ε 1 /ε 2 (34)

Порядок выполнения работы:

Задание 1 . Определение момента инерции крестовины и проверка зависимости углового ускорения от момента вращающей силы.

Задание выполняется с крестовиной без надетых на нее грузов.

Выберите и установите высоту h опускания груза m 0 путем перемещения верхнего подвижного кронштейна 12 (высота h может быть задана преподавателем). Значение h занесите в таблицу 2.

Измерьте штангенциркулем диаметр выбранного шкива и найдите его радиус r 0 . Значение r 0 занесите в таблицу 2.

Выбрав наименьшее значение массы m 0 , равное массе подставки, на которую надеваются дополнительные грузы, намотайте нить на выбранный шкив так, чтобы груз m 0 был под­нят на высоту h . Измерьте три раза время t 0 опускания этого груза. Данные запишите в таблицу 2.

Повторите предыдущий опыт, для различных (от трех до пяти) масс m 0 опускающегося груза, учтя массу подставки, на которую одеваются грузы. Массы подставки и грузов указаны на них.

После каждого опыта проведите следующие расчеты (занося их результаты в таблицу 2):

1. рассчитайте среднее время опускания груза t 0 ср. и, используя его, по формуле (22) определите линейное ускорение грузов a . С таким же ускорением движутся точки на поверхности шкива;

   зная радиус шкива r 0 , по формуле (23) найдите его угловое ускорение ε;

   используя полученное значение линейного ускорения a по формуле (26) найдите вращающий момент М ;

   на основе полученных значений ε и M вычислите по формуле (29) момент инерции маховика J 0 без грузов на стержнях.

По результатам всех опытов рассчитайте и занесите в таблицу 2 среднее значение момента инерции J 0,ср. .

Для второго и последующих опытов рассчитайте, занося результаты расчетов в таблицу 2, отношения ε i /ε 1 и М i /M 1 (i – номер опыта). Проверьте правильность соотношения М i /M 1 = ε 1 /ε 2 .

По данным таблицы 2 для какой-нибудь одной строки рассчитайте погрешности измерений момента инерции по формуле:

 J = J 0 /J 0, ср. = m 0 /m 0 + 2r 0 /r 0 + 2t /t ср. + h /h ; J 0 =  J J 0,ср.

Значения абсолютных погрешностей r , t , h считайте равными приборным погрешностям; m 0 = 0,5 г.

Таблица 2.

Задание 2 . Проверка зависимости углового ускорения от величины момента инерции при неизменном вращающем моменте.

Крестови­на состоит из четырех спиц (стержней), четырех грузов и двух шкивов, насажен­ных на ось вращения. Так как массы шкивов малы и близко расположены к оси вращения, мож­но считать, что момент инерции J всей крестовины равен сумме мо­ментов инерции всех стержней (т.е. момента инерции крестовины без грузов J 0) и моментов инерции всех грузов, находящихся на стрежнях J гр, т.е.

J = J 0 + J гр (35)

Тогда момент инерции грузов относительно оси вращения ра­вен:

J гр = J – J 0 (36)

Обозначив момент инерции крестовины с грузами, находящимися на расстоянии r 1 от оси вращения через J 1 , а соот­ветствующий момент инерции самих грузов через J гр1 , перепишем (36) в виде:

J гр1 = J 1 – J 0 (37)

Аналогично для грузов, расположенны­х на расстоянии r 2 от оси вращения:

J гр2 = J 2 – J 0 (38)

Учитывая приближенное соотношение (30), имеем:

J гр 1 = Kt 1 2 – Kt 0 2 = K (t 1 2 – t 0 2) и J гр 2 = Kt 2 2 – Kt 0 2 = K (t 2 2 – t 0 2) (39)

где t 1 – время опускания груза m 0 для случая, когда грузы на стержнях укреплены на расстоянии r 1 от оси вращения; t 2 – время опускания груза m 0 при закреплении грузов на стержнях на расстоянии r 2 от оси вращения; t 0 – время опускания груза m 0 при вращении крестовины без грузов.

Отсюда следует, что отношение моментов инерции грузов, находя­щихся на разных расстояниях от оси вращения, связано с временными характеристиками процесса опускания груза m 0 в виде:

J гр 1 /J гр 2 = (t 1 2 – t 0 2)/(t 2 2 – t 0 2) (40)

С другой стороны, приняв приближенно 4 груза, находящиеся на крестовине, за точечные массы m , можно считать, что:

J гр 1 = 4mr 1 2 и J гр 2 = 4mr 2 2 , (41)

J гр1 /J гр2 = r 1 2 /r 2 2 (42)

Совпадение правых частей уравнений (40) и (42) могло бы служить экспериментальным подтверждением наличия прямой пропорциональной зависимости момента инерции материальных точек от квадрата их расстояния до оси вращения. На самом деле оба соотношения (40) и (42) являются приблизительными. Первое из них получено в предположении, что ускорением a опускания груза m 0 можно пренебречь в сравнении с ускорением свободного падения g , и, кроме того, при его выводе не учтен момент сил трения шкивов об ось и момент инерции всех шкивов относитель­но оси вращения. Второе относится к точечным массам (т.е. массам тел, размерами которых можно пре­небречь по сравнению с их расстоянием до центра вращения), каковыми цилиндрические грузы не являются, и поэтому, чем дальше от оси вращения они находятся, тем точнее выполняется соотношение (42). Этим и можно объяснить некоторое расхождение результатов, по­лучаемых экспериментально, с теорией.

Для проверки зависимости (42) проделайте опыты в следую­щей последовательности:

Закрепите 4 груза на стержнях ближе к их концам на одинаковом расстоянии от шкива. Определите и запишите в таблицу 3 расстояние r 1 от оси вращения до центров масс грузов. Оно определяется по формуле: r 1 = r ш + l + l ц /2, где r ш – радиус шкива, на котором закреплены стержни, l – расстояние от груза до шкива, l ц – длина цилиндрического груза. Диаметр шкива и длину грузов измерьте штанген­циркулем.

Измерьте три раза время t 1 опускания груза m 0 и рассчитайте среднее значение t 1ср. . Опыт проделайте для тех же масс m 0 , что и в задании 1. Данные запишите в таблицу 3.

Сдвиньте грузы на спицах к центру на произвольное, одина­ковое для всех спиц расстояние r 2 < r 1 . Вычислите это расстояние (r 2) с учетом замечаний в п. 1 и запишите в таблицу 3.

Измерьте три раза время t 2 опускания груза m 0 для этого слу­чая. Рассчитайте среднее значение t 2ср. , повторите опыт для тех же масс m 0 , как и в п. 2 и запишите полученные данные в таблицу 3.

Перенесите из таблицы 2 в таблицу 3 значения t 0ср. , полученные в предыдущем задании для соответствующих значений m 0 .

Для всех значений m 0 , используя имеющиеся средние значения t 0 , t 1 и t 2 , по формуле (40) рассчитайте величину b , равную отношению моментов инерции грузов, находящихся на разных расстояниях от оси вращения: b = J гр.1 /J гр.2 , и определите b ср. . Результаты запишите в таблицу 3.

По данным любой одной строки таблицы 3 рассчитайте пог­решность, допущенную при определении отношения (40), пользуясь правилами нахождения погрешностей при косвенных измерениях:

 b = b /b ср. = 2t (t 1 + t 0)/(t 1 2 – t 0 2) + 2t (t 2 + t 0)/(t 2 2 – t 0 2); b =  b b ср.

Рассчитайте значение отношения r 1 2 /r 2 2 и запишите в таблицу 3. Сравните это отношение со значением b ср. и проанализируйте некоторые расхождения в пределах погреш­ности опыта полученных результатов с теорией.

Таблица 3.

Задание 3 . Проверка формул для моментов инерции тел правильной формы.

Теоретически рассчитанные формулы для определения собственных моментов инерции различных однородных тел правильной формы, т.е. моментов инерции относительно осей, проходящих через центры масс этих тел, приведены в таблице 1. В то же время, пользуясь полученными в заданиях 1 и 2 экспериментальными данными (таблицы 2 и 3) можно рассчитать собственные моменты инер­ции таких тел правильной формы, как грузы, надеваемые на стержни крестовины, а также сами стержни, и сравнить полученные значения с теоретическими значениями.

Так, момент инерции четырех грузов, находящихся на расстоянии r 1 от оси вращения, можно рассчитать на основе экспериментально определенных величин t 1 и t 0 по формуле:

J гр1 = K (t 1 2 – t 0 2) (43)

Коэффициент K в соответствии с введенным в (23) обозначением составляет

K = m 0 r 0 2 g /2h (44)

где m 0 – масса опускающегося груза, подвешенного на нити; h – высота его опускания; r 0 – радиус шкива, на который наматывается нить; g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с 2).

Рассматривая грузы, надетые на спицы, как однородные цилиндры с массой m ц и учитывая правило аддитивности моментов инерции, можно считать, что момент инерции одного такого цилиндра, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной его оси вращения и расположенной на расстоянии r 1 от его центра масс, составляет

J ц1 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 (45)

По теореме Штейнера этот момент инерции является суммой момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра перпендикулярно его оси вращения J ц0 , и значения произведения m ц r 1 2:

J ц1 = J ц0 + m ц r 1 2 (46)

J ц 0 = J ц 1 – m ц r 1 2 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 – m ц r 1 2 (47)

Таким образом, мы получили формулу для экспериментального определения собственного момента инерции цилиндра относительно оси, перпендикулярной его оси вращения.

Аналогично, момент инерции крестовины, т.е. всех спиц (стержней), можно рассчитать по формуле:

J 0 = Kt 0 2 (48)

где коэффициент K определяется так же, и в предыдущем случае.

Для одного стержня, соответственно:

J ст = Kt 0 2 /4 (49)

Воспользовавшись теоремой Штейнера (здесь m ст – масса стержня, r ст – расстояние от его середины до оси вращения и J ст0 – собственный момент инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси):

J ст = J ст0 + m ст r ст 2 (50)

и учитывая, что один из концов стержня находится на оси вращения, т.е. r ст составляет половину его длины l ст, мы получаем формулу для экспериментального определения момента инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр масс:

J ст0 = J ст – m ст l ст 2 /4 = (Kt 0 2 – m ст l ст 2)/4 (51)

Для проверки соответствия значений собственных моментов инерции однородных тел правильной формы, полученных экспериментально и рассчитанных теоретически, воспользуйтесь данными заданий 1 и 2 и проведите следующие операции:

В таблицу 4 перенесите из таблицы 2 значения r 0 , h и m 0 .

Для всех, использовавшихся в заданиях 1 и 2, значений m 0 рассчитайте значения K и запишите их в таблицу 4.

Значения t 1ср. и t 0ср. из таблицы 3 для соответствующих значений m 0 перенесите в таблицу 4 (в столбцы t 1 и t 0).

Занесите в таблицу 4 значение массы груза-цилиндра m ц (написано на грузе) и перенесите в нее из таблицы 3 значение r 1 .

По формуле (47) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра J ц0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ц0 (э‑с) экспериментальное значение.

Измерьте штангенциркулем длину l ц и диаметр d ц груза-цилиндра. Запишите в таблицу 4 значения l ц и r ц = d ц /2.

Используя значения l ц, r ц, и m ц, по формуле (ф6) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра.

Измерьте полную длину стержня, учитывая, что l ст = r ш + l , где r ш – радиус шкива, на котором укреплены стержни, и l – расстояние от конца стержня до шкива (l ст можно определить и как половину измеренного расстояния между концами двух противоположно направленных стержней). Запишите значения l ст и массы стержня m ст = 0,053 кг в таблицу 4.

По формуле (51) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню J ст0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ст0 (э‑с) экспериментальное значение.

Используя значения l ст и m ст, по формуле (ф8) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню.

Сравните полученные экспериментально и теоретически значения моментов инерции цилиндра и стержня. Проанализируйте имеющиеся расхождения.

Таблица 4.

Контрольные вопросы для подготовки к работе:

Сформулировать второй закон Ньютона для вращательного движе­ния.

Что называется моментом инерции элементарной массы и твердого тела? Физический смысл момента инерции.

Что называется моментом силы относительно точки и оси вращения? Как определить направление вектора момента сил относительно точки?

Какова должна быть зависимость между угловым ускорением и моментом вращающей силы при постоянном моменте инерции? Как эту зависимость проверить практически?

Как зависит момент инерции тела от распределения в нем массы или распределения массы в системе вращающихся тел? Как убе­диться в этом практически?

Как определить момент инерции крестовины момент инерции вра­щающихся грузов и спиц при отсутствии силы трения?

Контрольные вопросы для сдачи зачета:

Выведите расчетные формулы для всех трех заданий.

Как будут изменяться величины , J и M при неизменном поло­жении грузов на спицах, если

а) увеличить радиуса шкива r 0 при пос­тоянной массе опускающегося груза m 0 ?

б) увеличить m 0 при постоянном r 0 ?

Как изменится момент инерции крестовины с грузами, если их расстояние от оси вращения уменьшить в три раза при неизменном значении m 0 ? Почему?

Чему равен момент инерции простейших тел: стержня, обруча, диска.

Угловая скорость и угловое ускорение тела: определение и смысл этих величин.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Макаров Игорь Евгеньевич, профессор, д.х.н.

Юрик Тамара Константиновна, доцент, к.х.н.

Изучение законов вращения на маятнике Обербека

(без учета силы трения)

Методические указания к лабораторной работе

Компьютерная верстка Скворцов И.М.

Технический редактор Киреев Д.А.

Ответственный за выпуск Морозов Р.В.

Бумага офсетная. Печать на ризографе.

Усл.печ.л. Тираж экз. Заказ

Информационно-издательский центр МГУДТ

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.

Основу динамики составляют законы Ньютона.

I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .

ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.

Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.

Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:

1) все тела обладают свойством инертности;

2) существуют ИСО.

Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.

Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что m и =m г, поэтому говорят просто о массе тела.

[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.

Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.

Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.

Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы . Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.

II закон. Ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе, обратно пропорционально ее массе и совпадает по направлению с действующей силой.

Где - равнодействующая сила.

Силу можно выразить формулой

,

1Н - это сила, под действием которой тело массой 1 кг получает ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.

Второй закон Ньютона можно записать в другом виде, введя понятие импульса:

.

Импульс - векторная величина, численно равная произведению массы тела на его скорость и сонаправленная с вектором скорости.

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Краткая теория

В качестве меры механического действия одного тела на другое в механике вводится векторная величина, называемая силой. В рамках классической механики имеют дело с гравитационными силами, а также с упругими силами и силами трения.

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения, пропорциональна произведению масс точек и , обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

, (3.1)

где G =6,67∙10 -11 м 3 /(кг∙с 2) - гравитационная постоянная.

Сила тяжести – это сила притяжения в гравитационном поле небесного тела:

где - масса тела; - ускорение свободного падения, - масса небесного тела, - расстояние от центра масс небесного тела до точки, в которой определяется ускорение свободного падения (рис. 3.1).

Вес - это сила, с которой тело действует на опору или подвес, неподвижные относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес равен силе тяжести , действующей на тело со стороны Земли. В противном случае вес , где - ускорение тела (с опорой) относительно Земли.

Упругие силы

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Действующей на тело (пружину) силе противодействует упругая сила. С учетом направления действия для упругой силы имеет место формула:

где k - коэффициент упругости (жесткость в случае пружины), - абсолютная деформация. Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука. Этот закон справедлив только для упругих деформаций.

В качестве величины, характеризующей деформацию стержня, естественно взять относительное изменение его длины:

где l 0 - длина стержня в недеформированном состоянии, Δl – абсолютное удлинение стержня. Опыт показывает, что для стержней из данного материала, относительное удлинение ε при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

, (3.5)

где E - модуль Юнга (величина, характеризующая упругие свойства материала). Эта величина измеряется в паскалях (1Па=1Н/м 2). Отношение F/S представляет собой нормальное напряжение σ , поскольку сила F направлена по нормали к поверхности.

Силы трения

Придвижении телапо поверхности другого тела или в среде (воде, масле, воздухе и т.д.) оно встречает сопротивление. Это сила сопротивления движению . Она является результирующей сил сопротивления формы тела и трения: . Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Если имеется жидкая смазка, это будет уже вязкое трение между слоями жидкости. Аналогично обстоит дело и при движении тела, полностью погруженного в среду. Во всех этих случаях сила трения зависит от скорости сложным образом. Для сухого трения эта сила сравнительно мало зависит от скорости (при малых скоростях). Но трение покоя нельзя определить однозначно. Если тело покоится и нет силы, стремящейся сдвинуть тело, равна нулю. Если такая сила есть, тело не сдвинется до тех пор, пока эта сила не станет равной некоторому значению , называемому максимальным трением покоя. Сила трения покоя может иметь значения от 0 до , что отражено на графике (рис. 3.2, кривая 1) вертикальным отрезком. В соответствии с рис. 3.2 (кривая 1), сила трения скольжения с увеличением скорости вначале несколько убывает, а затем начинает возрастать. Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давления , прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

где - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения (соответственно покоя или скольжения). Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, в частности от их шероховатости. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости.

Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим.

Сила вязкого трения обращается в нуль вместе со скоростью. При малых скоростях она пропорциональна скорости:

где - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Величина коэффициента зависит от формы и размеров тела, состояния его поверхности и от свойства среды, называемого вязкостью. Этот коэффициент зависит и от скорости , однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным. При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный, то есть сила начинает расти пропорционально квадрату скорости (рис. 3.2, кривая 2).

Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инерцией. Соответственно первый закон Ньютона также называют законом инерции , а движение тела, свободного от внешних воздействий, - движением по инерции .

Опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление» при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее степень неподатливости тела к изменению его скорости, называется инертностью . У различных тел оно проявляется в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот. В рамках ньютоновской механики масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:

1) масса – величина аддитивная, то есть масса составного тела равна сумме масс его частей ;

2) масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.

Второй закон Ньютона: под действием результирующей силы тело приобретает ускорение

Силы и приложены к разным телам. Эти силы одной природы.

Импульс – векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

где - импульс тела, - масса тела, - скорость тела.

Для точки, входящей в систему точек:

, (3.11)

где - скорость изменения импульса i –ой точки системы; - сумма внутренних сил, действующих на i –ю точку со стороны всех точек системы; - результирующая внешняя сила, действующая на i –ю точку системы; N- число точек в системе.

Основное уравнение динамики поступательного движения для системы точек:

, (3.12)

где - скорость изменения импульса системы; - результирующая внешняя сила, действующая на систему.

Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела:

,

(3.13)

где - результирующая сила, действующая на тело; - скорость центра масс тела, скорость изменения импульса центра масс тела.

Вопросы для самоподготовки

1. Назовите группы сил в механике, дайте им определение.

2. Дайте определение результирующей силы.

3. Сформулируйте закон всемирного тяготения.

4. Дайте определение силы тяжести и ускорения свободного падения. От каких параметров зависят эти физические величины?

5. Получите выражение для первой космической скорости.

6. Расскажите о весе тела, условиях его изменения. Какова природа этой силы?

7. Сформулируйте закон Гука и укажите границы его применимости.

8. Расскажите о сухом и вязком трении. Объясните, как зависит сила сухого и вязкого трения от скорости движения тела.

9. Сформулируйте первый, второй и третий законы Ньютона.

10. Приведите примеры выполнения законов Ньютона.

11. Почему первый закон Ньютона называют законом инерции?

12. Дайте определение и приведите примеры инерциальных и неинерциальных систем отсчета.

13. Расскажите о массе тела как мере инертности, перечислите свойства массы в классической механике.

14. Дайте определение импульса тела и импульса силы, укажите единицы измерения этих физических величин.

15. Сформулируйте и запишите основной закон динамики поступательного движения для изолированной материальной точки, точки системы, системы точек и твердого тела.

16. Материальная точка начинает двигаться под действием силы F x , график временной зависимости которой представлен на рисунке. Изобразите график отражающий зависимость величины проекции импульса p x от времени.

Примеры решения задач

3 .1 . Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой , а коэффициент трения зависит только от расстояния до центра площадки по закону где постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке , по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

Дано: Найти:

R, r(v max ), v max .

В задаче рассматривается движение велосипедиста по окружности. Так как скорость велосипедиста по модулю постоянна, то он движется с центростремительным ускорением под действием нескольких сил: силы тяжести , силы реакции опоры и силы трения (рис.3.4).

Применяя второй закон Ньютона, получим:

++ + =m . (1)

Выбрав оси координат (рис.1.3), запишем уравнение (1) в проекциях на эти оси:

С учетом того, что F тр =μF N = mg , получим выражение для скорости:

. (2)

Для нахождения радиуса r , при котором скорость велосипедиста максимальна, необходимо исследовать функцию v(r) на экстремум, то есть найти производную и приравнять ее к нулю:

= =0. (3)

Знаменатель дроби (3) не может быть равным нулю, тогда из равенства нулю числителя получим выражение для радиуса окружности, при котором скорость максимальна:

Подставляя выражение (4) в (2), получим искомую максимальную скорость:

.

Ответ: .

На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней брусок массы m2. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону где c - постоянная. Найти зависимость от ускорения доски и бруска если коэффициент трения между доской и бруском равен. Изобразите примерные графики этих зависимостей.

Дано: Найти:

m 1 , 1.

m 2 , 2.

В задаче рассматривается поступательное движение двух соприкасающихся тел (доски и бруска), между которыми действует сила трения. Между доской и плоскостью сила трения отсутствует. Сила F , приложенная к бруску, растет со временем, поэтому до некоторого момента времени брусок и доска движутся вместе с одинаковым ускорением, а при брусок начнет обгонять доску, будет скользить по ней. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Поэтому силы трения, действующие на доску и брусок , направлены так, как показано на рисунке 3.5, причем . Пусть момент начала отсчета времени t= 0совпадает с началом движения тел, тогда сила трения будет равна максимальной силе трения покоя (где сила нормальной реакции доски, уравновешенная силой тяжести бруска ). Ускорение доски возникает под действием одной силы трения , направленной так же, как и сила .

Зависимость ускорения доски и ускорения бруска от времени можно найти из уравнения второго закона Ньютона, записанного для каждого тела. Поскольку вертикальные силы, действующие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движения для каждого из тел можно записать в скалярной форме (для проекций на ось ОХ):

Учитывая, что , = , можно получить:

. (1)

Из системы уравнений (1) можно найти момент времени , учитывая, что при :

.

Решив систему уравнений (1) относительно , можно получить:

(при ). (2)

При ускорения и различны, но сила трения имеет определенное значение , тогда:

(3)

График зависимости ускорений от времени для тел и можно построить на основании выражений (2) и (3). При график представляет собой прямую, выходящую из начала координат. При график прямая, параллельная оси абсцисс, график прямая, идущая вверх более круто (рис.3.6).

Ответ: при ускорения

при . Здесь .

3.3. В установке (рисунок 3.7) известны угол φ наклонной плоскости с горизонтом и коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс , при котором тело :

1) начнет опускаться;

2) начнет подниматься;

3) будет оставаться в покое.

Дано: Найти:

Решение:

В задаче рассматриваются два тела, связанные нитью и совершающие поступательное движение. На тело массы действуют сила тяжести сила нормальной реакции наклонной плоскости, сила натяжения нити и сила трения . На тело действуют только сила тяжести и сила натяжения нити (рис. 3.7). В условиях равновесия ускорения первого и второго тела равны нулю , а сила трения является силой трения покоя, и ее направление противоположно направлению возможного движения тела . Применяя второй закон Ньютона для первого и второго тела, получаем систему уравнений:

(1)

Bследствие невесомости нити и блока . Выбрав оси координат (рис.3.7 а , 3.7 б ), запишем для каждого тела уравнение движения в проекциях на эти оси. Тело начнет опускаться (рис. 3.7 а ) при условии:

(2)

При совместном решении системы (2) можно получить

(3)

С учетом того, что выражение (3) можно записать в виде:

(4)