Движение твердого тела называется вращательным, если во время движения все точки тела, расположенные на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными (рис. 2.15).

Положение тела при вращательном движении принято определять углом поворота тела , который измеряется как двугранный угол между неподвижной и подвижной плоскостями, проходящими через ось вращения. Причем, подвижная плоскость связана с вращающимся телом.

Введем в рассмотрение подвижную и неподвижную системы координат, начало которых разместим в произвольной точке О оси вращения. Ось Oz, общую для подвижной и неподвижной систем координат, направим по оси вращения, ось Ох неподвижной системы координат направим перпендикулярно оси Oz таким образом, чтобы она лежала в неподвижной плоскости, ось Ох 1 подвижной системы координат направим перпендикулярно оси Oz таким образом, чтобы она лежала в подвижной плоскости (рис. 2.15).

Если рассматривать сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения, то угол поворота φ можно определять как угол между неподвижной осью Ох и подвижной осью Ох 1 , неизменно связанной с вращающимся телом (рис. 2.16).

Принято направление отсчета угла поворота тела φ против хода часовой стрелки считать положительным, если смотреть с положительного направления оси Oz.

Равенство φ = φ(t) , описывающее изменение угла φ во времени, называется законом или уравнением вращательного движения твердого тела.

Быстрота и направление изменения угла поворота твердого тела характеризуются угловой скоростью. Абсолютное значение угловой скорости принято обозначать буквой греческого алфавита ω (омега). Алгебраическое значение угловой скорости принято обозначать . Алгебраическое значение угловой скорости равно первой производной по времени от угла поворота:

. (2.33)

Единицы измерения угловой скорости равны единицам измерения угла, деленным на единицу измерения времени, например, град/мин, рад/ч. В системе СИ единица измерения угловой скорости рад/с, но чаще наименование этой единицы измерения записывается в виде 1/с.

Если > 0, то тело вращается против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Если < 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Быстрота и направление изменения угловой скорости характеризуются угловым ускорением. Абсолютную величину углового ускорения принято обозначать буквой греческого алфавита e (эпсилон). Алгебраическую величину углового ускорения принято обозначать . Алгебраическая величина углового ускорения равна первой производной по времени от алгебраического значения угловой скорости или второй производной от угла поворота:

Единицы измерения углового ускорения равны единицам измерения угла, деленным на единицу измерения времени в квадрате. Например, град/с 2 , рад/ч 2 . В системе СИ единицей измерения углового ускорения является рад/с 2 , но чаще наименование этой единицы измерения записывается в виде 1/с 2 .

Если алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения имеют один знак, то угловая скорость с течением времени увеличивается по модулю, а если разный, то уменьшается.

Если угловая скорость постоянна (ω = const), то принято говорить, что вращение тела равномерное. В этом случае:

φ = · t + φ 0 , (2.35)

где φ 0 - начальный угол поворота.

Если постоянно угловое ускорение (e = const), то принято говорить, что вращение тела равноускоренное (равнозамедленное). В этом случае:

где 0 - начальная угловая скорость.

В остальных случаях для определения зависимости φ от и необходимо интегрировать выражения (2.33), (2.34) при заданных начальных условиях.

На рисунках направление вращения тела иногда показывают изогнутой стрелкой (рис. 2.17).

Часто в механике угловая скорость и угловое ускорение рассматриваются как векторные величины и . Оба эти вектора направляются по оси вращения тела. Причем вектор направляют в одну сторону с ортом, определяющим направление оси координат, совпадающей с осью вращения, если >0, и в противоположную, если
Аналогично выбирают направление вектора (рис. 2.18).

При вращательном движении тела каждая из его точек (кроме точек, расположенных на оси вращения) перемещается по траектории, представляющей собой окружность с радиусом, равным кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения (рис. 2.19).

Поскольку для окружности касательная в любой ее точке составляет угол 90° с радиусом, то вектор скорости точки тела, совершающего вращательное движение, будет направлен перпендикулярно радиусу и лежать в плоскости окружности, являющейся траекторией движения точки. Касательная составляющая ускорения будет лежать на одной прямой со скоростью, а нормальная будет направлена по радиусу к центру окружности. Поэтому иногда касательную и нормальную составляющие ускорения при вращательном движении называют соответственно вращательной и центростремительной (осестремительной) составляющими (рис. 2.19)

Алгебраическая величина скорости точки определяется выражением:

, (2.37)

где R = OM - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

Алгебраическая величина касательной составляющей ускорения определяется выражением:

. (2.38)

Модуль нормальной составляющей ускорения определяется выражением:

. (2.39)

Вектор ускорения точки при вращательном движении определяется по правилу параллелограмма как геометрическая сумма касательной и нормальной составляющих. Соответственно модуль ускорения может быть определен по теореме Пифагора :

Если угловая скорость и угловое ускорение определены как векторные величины , , то векторы скорости, касательной и нормальной составляющих ускорения могут быть определены по формулам:

где - радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки оси вращения (рис. 2.20).

Решение задач на вращательное движение одного тела обычно не вызывает никаких трудностей. Используя формулы (2.33)-(2.40), можно легко определить любой неизвестный параметр.

Определенные сложности возникают при решении задач, связанных с исследованием механизмов, состоящих из нескольких взаимосвязанных тел, совершающих как вращательное, так и поступательное движение.

Общий подход к решению подобных задач заключается в том, что движение от одного тела к другому передается через одну точку - точку касания (контакта). Причем у соприкасающихся тел равны скорости и касательные составляющие ускорений в точке контакта. Нормальные составляющие ускорения у соприкасающихся тел в точке контакта различны, они зависят от траектории движения точек тел.

При решении задач такого типа удобно в зависимости от конкретных обстоятельств использовать как формулы, приведенные в разделе 2.3, так и формулы для определения скорости и ускорения точки при задании ее движения естественным (2.7), (2.14) (2.16) или координатным (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) способами. При этом если движение тела, к которому принадлежит точка, вращательное, траектория движения точки будет представлять собой окружность. Если движение тела прямолинейное поступательное, то траектория движения точки будет представлять собой прямую линию.

Пример 2.4. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Угол поворота тела изменяется по закону φ = π · t 3 рад. Для точки, находящейся на расстоянии OM = R = 0,5 м от оси вращения, определить скорость, касательную, нормальную составляющие ускорения и ускорение в момент времени t 1 = 0,5 с. Показать направление этих векторов на чертеже.

Рассмотрим сечение тела плоскостью, проходящей через точку О перпендикулярно оси вращения (рис. 2.21). На этом рисунке точка О - точка пересечения оси вращения и секущей плоскости, точки М о и M 1 - соответственно начальное и текущее положение точки М. Через точки О и М о проведем неподвижную ось Ох , а через точки О и М 1 - подвижную ось Ох 1 . Угол между этими осями будет равен

Закон изменения угловой скорости тела найдем, продифференцировав закон изменения угла поворота:

В момент t 1 угловая скорость будет равна

Закон изменения углового ускорения тела найдем, продифференцировав закон изменения угловой скорости:

В момент t 1 угловое ускорение будет равно:

1/с 2 ,

Алгебраические величины векторов скорости, касательной составляющей ускорения, модуля нормальной составляющей ускорения и модуля ускорения найдем по формулам (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

М/с 2 ;

м/с 2 .

Так как угол φ 1 >0, то откладывать его от оси Ох будем против хода часовой стрелки. А так как > 0, то векторы будут направлены перпендикулярно радиусу OM 1 таким образом, чтобы мы видели их вращающимися против хода часовой стрелки. Вектор будет направлен по радиусу OM 1 к оси вращения. Вектор построим по правилу параллелограмма на векторах τ и .

Пример 2.5. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 х = 0,6t 2 - 0,18 (м) определить скорость, а также касательную, нормальную составляющую ускорения и ускорение точки М механизма в момент времени t 1 , когда путь, пройденный грузом 1, равен s = 0,2 м. При решении задачи будем считать, что проскальзывание в точке контакта тел 2 и 3 отсутствует, R 2 = 1,0 м, r 2 = 0,6 м, R 3 = 0,5 м (рис. 2.22).

Закон прямолинейного поступательного движения груза 1 задан в координатной форме. Определим момент времени t 1 , для которого путь, пройденный грузом 1, будет равен s

s = x(t l)-x(0) ,

откуда получим:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Следовательно,

Продифференцировав по времени уравнение движения, найдем проекции скорости и ускорения груза 1 на ось Ох:

м/с 2 ;

В момент t = t 1 проекция скорости груза 1 будет равна:

то есть будет больше нуля, как и проекция ускорения груза 1. Следовательно, груз 1 будет в момент t 1 двигаться вниз равноускоренно, соответственно, тело 2 будет вращаться равноускоренно в направлении против хода часовой стрелки, а тело 3 - по ходу часовой стрелки.

Тело 2 приводится во вращение телом 1 через нить, намотанную на малый барабан. Поэтому модули скоростей точек тела 1, нити и поверхности малого барабана тела 2 равны, также равны будут и модули ускорений точек тела 1, нити и касательной составляющей ускорения точек поверхности малого барабана тела 2. Следовательно, модуль угловой скорости тела 2 можно определить как

Модуль углового ускорения тела 2 будет равен:

1/с 2 .

Определим модули скорости и касательной составляющей ускорения для точки К тела 2 - точки контакта тел 2 и 3:

м/с, м/с 2

Так как тела 2 и 3 вращаются без взаимного проскальзывания, модули скорости и касательной составляющей ускорения точки К - точки контакта у этих тел будут равны.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие – нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно связанные с ним), остаются во все время движения неподвижными (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

Проходящая через неподвижные точки А иВ прямая называетсяосью вращения. Так как расстояние между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси будут неподвижны, а все остальные будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направлена осьAz , полуплоскостьІ – неподвижную и полуплоскостьІІ врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком угломφ между этими плоскостями, который назовемуглом поворота тела. Будем считать уголφ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца осиAz ), а отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять уголφ будем в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость углаφ от времениt , т.е.

Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорениеε.

9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью.

Если за промежуток времени
тело совершает поворот на угол
, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при
получим

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.

Правило знаков: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω> 0, а когда по ходу часовой стрелки, тоω< 0.

или, так как радиан – величина безразмерная,
.

В теоретических выкладках удобнее пользоваться вектором угловой скорости , модуль которого равени который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки. Этот вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Если за промежуток времени
приращение угловой скорости равно
, то отношение
, т.е. определяет значение среднего ускорения вращающегося тела за время
.

При стремлении
получаем величину углового ускорения в моментt :

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, что тоже,
.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным , а если убывает, -замедленным. Когда величиныω иε имеют одинаковые знаки, то вращение будет ускоренным, когда разные – замедленным.По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение также можно изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Если тело вращается ускоренно направление совпадает с, и противоположнопри замедленном вращении.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной (ω= const ), то вращение тела называетсяравномерным .

Из
имеем
. Отсюда, считая, что в начальный момент времени
угол
, и беря интегралы слева отдо, а справа от 0 доt , получим окончательно

При равномерном вращении, когда =0,
и
.

Скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость междуn об/мин иω 1/с. При одном обороте тело повернется на 2π, а приn оборотах на 2π n ; этот поворот делается за 1 мин, т.е.t = 1мин=60с. Из этого следует, что

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε= const ), то вращение называетсяравнопеременным .

В начальный момент времени t =0 угол
, а угловая скорость
(- начальная угловая скорость).
;
=ε
. Интегрируя левую часть отдо, а правую от 0 доt , найдем

Угловая скорость ω этого вращения
. Если ω и ε имеют одинаковые знаки, вращение будетравноускоренным , а если разные –равнозамедленным.

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела .

Пусть точки A и B неподвижны. Вдоль оси вращения направим ось . Через ось вращения проведём неподвижную плоскость и подвижную , скреплённую с вращающимся телом (при ).

Положение плоскости и самого тела определяется двугранным углом между плоскостями и . Обозначим его . Угол называется углом поворота тела .

Положение тела относительно выбранной системы отсчета однозначно определяется в любой момент времени, если задано уравнение , где - любая дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называется уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси .

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра - угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным - в противоположном направлении. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введём понятия угловой скорости и углового ускорения.

Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называется первая производная по времени от угла поворота в этот момент, то есть .

Угловая скорость является положительной величиной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной - при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Размерность угловой скорости по определению:

В технике угловая скорость - это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернётся на угол , где n - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Алгебраическим угловым ускорением тела называется первая производная по времени от угловой скорости, то есть вторая производная от угла поворота т.е.

Размерность углового ускорения по определению:

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела.

И , где - единичный вектор оси вращения. Векторы и можно изображать в любых точках оси вращения, они являются скользящими векторами.

Алгебраическая угловая скорость это проекция вектора угловой скорости на ось вращения. Алгебраическое угловое ускорение это проекция вектора углового ускорения скорости на ось вращения.

Если при , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения .

При и тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения .

В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

ΔS = Δφr.

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

[ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

ω = 2π/T,

поэтому период вращения определим следующим образом:

T = 2π/ω.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

ω = 2πν.

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

a = ω 2 r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

a = ε r.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υ i , r i) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = m i υ i r i .

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

M i = r i F i sin(r i , F i).

Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

M = dL/dt.

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

L i = m i υ i r i .

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

υ i = ωr i ,

то выражение для момента импульса примет вид

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

L i = I i ω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

L = Iω.

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

ε = dω/dt,

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

M = Iε.

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,

где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называ­ется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела.

Если А и В - неподвижные точки тела (рис. 15), то осью вращения является ось Oz, которая может иметь в пространстве любое направление, не обязательно вертикальное. Одно на­правление оси Oz принимается за положительное.

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость П о и подвижную П, скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугран­ным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом φ между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол φ называется углом поворота тела.

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой

момент времени, если задано уравнение φ = f(t) (5)

где f(t) - любая, дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра - угла φ .

Угол φ считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным - в противополож­ном направлении, если смотреть с положительного направления оси Oz. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введем понятия угловой скорости и углового ускорения. Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т. е. dφ/dt = φ. Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной - при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Модуль угловой скорости обозначают ω. Тогда ω= ׀dφ/dt ׀= ׀φ ׀ (6)

Размерность угловой скорости устанавливаем в соответствии с (6)

[ω] = угол/время = рад/с = с -1 .

Втехнике угловая скорость - это частота вращения, выражен­ная в оборотах в минуту. За 1 мин тело повернется на угол 2πп, если п - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим: (7)

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической скорости, т.е. вторую производную от угла поворота d 2 φ/dt 2 = ω . Модуль углового ускорения обозначим ε , тогда ε=|φ| (8)

Размерность углового ускорения получаем из (8):

[ε ] = угловая скорость/время = рад/с 2 = с -2

Если φ’’>0 при φ’>0 , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). При φ’’<0 и φ’<0 тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Если φ’’<0 при φ’>0 , то имеем замедленное вращение в положительную сторону. При φ’’>0 и φ’<0 , т.е. замедленное вращении совершается в отрицательную сторону. Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения. Дуговая стрелка для угловой скорости указывает направление вращения тел;

Для ускоренного вращения дуговые стрелки для угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые направления для замедленного - их направления противоположны.

Частные случаи вращения твердого тела

Вращение называют равномерным, если ω=const, φ= φ’t

Вращение будет равнопеременным, если ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t и

В общем случае, если φ’’ не постоянно,

Скорости и ускорения точек тела

Известно уравнение вращения твердого тела вокруг непо­движной оси φ= f(t) (рис.16). Расстояние s точки М в по­движной плоскости П по дуге окружности (траектории точки), отсчитываемое от точки М о, расположенной в неподвижной плоскости, выражается через угол φ зависимостью s=hφ , где h -радиус окружности, по которой перемещается точка. Он является кратчайшим расстоянием от точки М до оси враще­ния. Его иногда называют радиусом вращения точки. У каждой точки тела радиус вращения остается неизменным при враще­нии тела вокруг неподвижной оси.

Алгебраическую скорость точки М определяем по формуле v τ =s’=hφ Модуль скорости точки: v=hω (9)

Скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональ­ны их кратчайшим расстояниям до этой оси. Коэффициентом пропорци­ональности является угловая ско­рость. Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, сле­довательно, перпендикулярны радиу­сам вращения. Скорости точек тела, расположен­ных на отрезке прямой ОМ, в соот­ветствии с (9) распределены по линей­ному закону. Они взаимно параллельны, и их концы располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения. Ускорение точки разлагаем на ка­сательную и нормальную составля­ющие, т. е. a=a τ +a nτ Касательное и нормальное ускорения вычисляются по формулам (10)

так как для окружности радиус кривизны р=h (рис. 17). Таким образом,

Касательные, нормальные и полные ускорения точек, как и скорости, распределены тоже по линейному закону. Они линейно зависят от расстояний точек до оси вращения. Нормальное ускорение направлено по радиусу окружности к оси вращения. Направление касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. При φ’>0 и φ’’>0 или φ’<0 и φ’<0 имеем ускоренное вращение тела и направле­ния векторов a τ и v совпадают. Если φ’ и φ’" имеют разные знаки (замедленное вращение), то a τ и v направлены проти­воположно друг другу.

Обозначив α угол между полным ускорением точки и ее радиусом вращения, имеем

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

так как нормальное ускорение а п всегда положительно. Угол а для всех точек тела один и тот же. Откладывать его следует от ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления вращения твердого тела.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если К - единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, то векторы угловой скорости ώ и углового ускорения ε определяют выражениями (12)

Так как k -постоянный по мо­дулю и направлению вектор, то из (12) следует, что

ε=dώ/dt (13)

При φ’>0 и φ’’>0 направления векторов ώ и ε совпадают. Они оба направлены в положительную сторону оси вращения Oz (Рис. 18.а)Если φ’>0 и φ’’<0 , то они направлены в противополож­ные стороны (рис.18.б). Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном. Векторы ώ и ε можно изображать в любых точках оси вращения. Они являются векторами скользящими. Это их свойство следует из векторных формул для скоростей и ускоре­ний точек тела.

Сложное движение точки

Основные понятия

Для изучения некоторых, более сложных видов движений твердого тела целесообразно рассмотреть простейшее сложное движение точки. Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Так, движение космичес­кого корабля, движущегося к Луне, требуется рассматривать одновременно и относительно Земли и относительно Луны, которая движется относительно Земли. Любое движение точки можно считать сложным, состоящим из нескольких движений. Например, движение корабля по реке относительно Земли можно считать сложным, состоящим из движения по воде и вместе с текущей водой.

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти дви­жения. Пусть имеем две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга. Если одну из этих систем O l x 1 y 1 z 1 (рис. 19) принять за основную или неподвижную (ее движение относительно других систем отсчета не рассматривается), то вторая система отсчета Oxyz будет двигаться относительно первой. Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Характеристики этого движения, такие, как траектория, скорость и ускорение, назы­ваются относительными. Их обозначают индексом r; для скорости и ускорения v r , a r . Движение точки относительно основной или неподвижной системны системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 называется абсолютным (или сложным). Его также иногда называют составным движением. Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Скорость и ускорение абсолютного движения обозначают буквами v, a без индексов.

Переносным движением точки называют движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вслед­ствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и уско­рение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обознача­ют v e , а е.

Если траектории всех точек тела S, скрепленного с подвиж­ной системой отсчета, изобразить на рисунке (рис. 20), то получим семейство линий - семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения. Точка М может совпадать только с одной точкой каждой из траекторий этого семейства переносных траекторий. В связи с этим иногда считают, что траекторий переносного движения нет, так как приходится считать траекториями переносного движения линии, у которых только одна точка фактически является точкой траектории.

В кинематике точки изучалось движение точки относительно какой-либо системы отсчета независимо от того, движется эта система отсчета относительно других систем или нет. Дополним это изучение рассмотрением сложного движения, в простейшем случае состоящего из относительного и перенос­ного. Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.

Сложение скоростей

Определим скорость абсолютного движения точки, если известны скорости относительного и переносного движений этой точки. Пусть точка со­вершает только одно, относи­ тельное движение по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz и в момент времени t за­нимает на траектории относи­ тельного движения положение М (рис 20). В момент времени t+ t вследствие относительного Движения точка окажется в по­ложении М 1 , совершив пере­мещение ММ 1 по траектории относительного движения. Пред­положим, что точка участвует Oxyz и относительной траекторией она переместится по некоторой кривой на ММ 2. Если точка участвует одновременно и в относительном и в переносном движениях, то за время А; она переместится на ММ" по траектории абсолютного движения и в момент времени t+At займет положение М". Если время At мало и в дальнейшем переходят к пределу при At, стремящемся к нулю, то малые перемещения по кривым можно заменить отрезками хорд и принять их за векторы перемещений. Складывая векторные пе­ремещения, получаем

В этом отношении отброшены малые величины более высокого порядка, стремящиеся к нулю при At, стремящемся к нулю. Переходя к пределу, имеем (14)

Следовательно, (14) примет форму (15)

Получена так называемая теорема сложения скоростей: скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме скоростей переносного и относительного движений этой точки. Так как в общем случае скорости переносного и относительного движений не перпендикулярны, то (15’)

Похожая информация.